Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Étudier la fonction cube : dérivée, variations, courbe
- Dériver une fonction polynôme de degré 3 et dresser son tableau de variations à partir du signe de la dérivée
- Exploiter le tableau de variations : extremums, nombre de solutions de f(x) = c
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Fonction cube
- f(x) = x³, croissante sur ℝ, de dérivée 3x².
- Polynôme de degré 3
- f(x) = ax³ + bx² + cx + d avec a non nul.
- Dérivée
- f′(x) = 3ax² + 2bx + c, polynôme de degré 2.
- Variations
- f croissante là où f′ est positive, décroissante là où f′ est négative.
- Extremum local
- Atteint quand f′ s'annule en changeant de signe.
- Équation f(x) = c
- Le tableau de variations permet de compter les solutions.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1545 | Cardan publie dans l'Ars magna la résolution des équations du troisième degré, due en partie à Tartaglia. |
| Vers 1636 | Fermat décrit une méthode pour trouver maxima et minima. |
| 1684 | Leibniz publie les règles du calcul différentiel. |
| Aujourd'hui | Les logiciels d'optimisation guident la conception d'emballages et de pièces. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, L'Univers des nombres, Belin, 2000.
- Ivar Ekeland, Le Calcul, l'imprévu, Seuil, 1984.
- Richard Courant et Herbert Robbins, Qu'est‑ce que les mathématiques ?, Cassini, 2015.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Fonction cube et dérivée
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Une dérivée nulle donne‑t‑elle toujours un maximum ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · La fonction cube
La fonction cube f(x) = x³ est définie sur ℝ ; sa dérivée est f′(x) = 3x², toujours positive ou nulle : la fonction est croissante sur ℝ. Sa dérivée s'annule en 0 sans changer de signe : il n'y a pas d'extremum en 0 (la courbe a seulement une tangente horizontale). Plus généralement, un polynôme de degré 3 s'écrit f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a non nul), et f′(x) = 3ax² + 2bx + c, un polynôme de degré 2 dont on étudie le signe (racines, signe de a).
Document 1 · La cuve d'un artisan
Situation-problème.
Un chaudronnier fabrique des cuves cubiques. Le volume d'une cuve d'arête x (en m) est V(x) = x³. Il veut savoir à quelle vitesse le volume augmente quand l'arête augmente.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- V(1), V(2), V(3) ?
- Le volume double‑t‑il quand l'arête double ?
- Dérivée de V ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Dérivez.
- f(x) = 2x³ − 6x + 1 ?
- g(x) = x³ − 3x² ?
- Signe de 3x² sur ℝ ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Expliquez à un camarade (6 lignes) pourquoi la fonction cube n'a pas de maximum ni de minimum en 0, alors que sa dérivée y vaut 0. Pour bien commencer : La dérivée de x³ est… · Elle s'annule en 0 mais… · La fonction reste donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La dérivée de x³ est ______. La fonction cube est __________ sur ℝ. Sa dérivée s'annule en 0 sans changer de ______. Il n'y a donc pas d'________ en 0.
Séance 2 · Optimiser une boîte
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle découpe donne la boîte la plus grande ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Optimisation
Pour étudier un polynôme de degré 3 : on calcule f′(x), on cherche ses racines (factorisation ou outil numérique), on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations. Un extremum local est atteint quand f′ s'annule en changeant de signe. Le tableau permet aussi de compter les solutions de f(x) = c : sur chaque intervalle où f est strictement monotone, il y a au plus une solution, et il y en a une si c est compris entre les valeurs aux bornes.
Document 1 · La boîte en carton
Situation-problème.
Un atelier d'emballage découpe dans une plaque carrée de 30 cm de côté quatre carrés de côté x aux coins, puis replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est V(x) = x(30 − 2x)², pour x compris entre 0 et 15.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- V(2) et V(5) ?
- Forme développée de V(x) ?
- Pourquoi x est‑il entre 0 et 15 ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Étudiez les variations.
- V′(x) ?
- Signe de V′(x) entre 0 et 15 ?
- Volume maximal ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au chef d'atelier (6 à 8 lignes) : quelle découpe choisir, quelles dimensions de boîte, et comment vous l'avez justifié ? Pour bien commencer : Le volume est maximal pour… · La boîte mesure alors… · J'ai justifié ce résultat par…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
On cherche les racines de la _______. Un extremum est atteint quand f′ s'annule en changeant de ______. La boîte a un volume maximal pour x = ______ cm. Ce volume vaut ______ cm³.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
La dérivée de x³ est ______.
La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré ______.
Si la dérivée est positive, la fonction est __________.
Une dérivée nulle en un point ne suffit pas à prouver un ________.
Ce que j'ai appris
- Étudier la fonction cube : dérivée, variations, courbe
- Dériver une fonction polynôme de degré 3 et dresser son tableau de variations à partir du signe de la dérivée
- Exploiter le tableau de variations : extremums, nombre de solutions de f(x) = c