Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Étudier la fonction cube : dérivée, variations, courbe
- Dériver une fonction polynôme de degré 3 et dresser son tableau de variations à partir du signe de la dérivée
- Exploiter le tableau de variations : extremums, nombre de solutions de f(x) = c
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Tartaglia et Cardan, équations du troisième degré (1545)
- Fermat, méthode des maxima et minima (vers 1636)
- Leibniz, calcul différentiel (1684)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Objectif du module : « L'objectif de ce module est d'étudier la fonction cube et les fonctions polynômes de degré 3. »
Point de vigilance : « Constater, à l'aide de la fonction cube, que le seul fait que la dérivée d'une fonction s'annule en un point ne suffit pas pour conclure que cette fonction possède un extremum local en ce point. »
Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Fonction cube
- f(x) = x³, croissante sur ℝ, de dérivée 3x².
- Polynôme de degré 3
- f(x) = ax³ + bx² + cx + d avec a non nul.
- Dérivée
- f′(x) = 3ax² + 2bx + c, polynôme de degré 2.
- Variations
- f croissante là où f′ est positive, décroissante là où f′ est négative.
- Extremum local
- Atteint quand f′ s'annule en changeant de signe.
- Équation f(x) = c
- Le tableau de variations permet de compter les solutions.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1545 | Cardan publie dans l'Ars magna la résolution des équations du troisième degré, due en partie à Tartaglia. |
| Vers 1636 | Fermat décrit une méthode pour trouver maxima et minima. |
| 1684 | Leibniz publie les règles du calcul différentiel. |
| Aujourd'hui | Les logiciels d'optimisation guident la conception d'emballages et de pièces. |
Les historiens en débat
La résolution des équations du troisième degré fut l'un des grands défis de la Renaissance italienne, avec des concours publics entre mathématiciens. Un siècle plus tard, Fermat puis Leibniz ont montré que les extremums se trouvent là où la « pente » s'annule : c'est la méthode utilisée ici pour optimiser une boîte. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, L'Univers des nombres, Belin, 2000.
- Ivar Ekeland, Le Calcul, l'imprévu, Seuil, 1984.
- Richard Courant et Herbert Robbins, Qu'est‑ce que les mathématiques ?, Cassini, 2015.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Fonction cube et dérivée | 65 min | étudier la fonction cube et dériver un polynôme de degré 3 |
| Séance 2 | Optimiser une boîte | 65 min | dresser un tableau de variations et trouver un maximum |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Fonction cube et dérivée
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Une dérivée nulle donne‑t‑elle toujours un maximum ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · La fonction cube
La fonction cube f(x) = x³ est définie sur ℝ ; sa dérivée est f′(x) = 3x², toujours positive ou nulle : la fonction est croissante sur ℝ. Sa dérivée s'annule en 0 sans changer de signe : il n'y a pas d'extremum en 0 (la courbe a seulement une tangente horizontale). Plus généralement, un polynôme de degré 3 s'écrit f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a non nul), et f′(x) = 3ax² + 2bx + c, un polynôme de degré 2 dont on étudie le signe (racines, signe de a).
Document 1 · La cuve d'un artisan
Situation-problème.
Un chaudronnier fabrique des cuves cubiques. Le volume d'une cuve d'arête x (en m) est V(x) = x³. Il veut savoir à quelle vitesse le volume augmente quand l'arête augmente.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- V(1), V(2), V(3) ?✔ Corrigé :
1 ; 8 ; 27 m³.
- Le volume double‑t‑il quand l'arête double ?✔ Corrigé :
Non, il est multiplié par 8.
- Dérivée de V ?✔ Corrigé :
V′(x) = 3x².
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Dérivez.
- f(x) = 2x³ − 6x + 1 ?✔ Corrigé :
f′(x) = 6x² − 6.
- g(x) = x³ − 3x² ?✔ Corrigé :
g′(x) = 3x² − 6x.
- Signe de 3x² sur ℝ ?✔ Corrigé :
Positif ou nul, nul seulement en 0.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Expliquez à un camarade (6 lignes) pourquoi la fonction cube n'a pas de maximum ni de minimum en 0, alors que sa dérivée y vaut 0. Pour bien commencer : La dérivée de x³ est… · Elle s'annule en 0 mais… · La fonction reste donc…
Dérivée 3x² ; absence de changement de signe ; croissance ; tangente horizontale ; clarté.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La dérivée de x³ est 3x². La fonction cube est croissante sur ℝ. Sa dérivée s'annule en 0 sans changer de signe. Il n'y a donc pas d'extremum en 0.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Optimiser une boîte
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle découpe donne la boîte la plus grande ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Optimisation
Pour étudier un polynôme de degré 3 : on calcule f′(x), on cherche ses racines (factorisation ou outil numérique), on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations. Un extremum local est atteint quand f′ s'annule en changeant de signe. Le tableau permet aussi de compter les solutions de f(x) = c : sur chaque intervalle où f est strictement monotone, il y a au plus une solution, et il y en a une si c est compris entre les valeurs aux bornes.
Document 1 · La boîte en carton
Situation-problème.
Un atelier d'emballage découpe dans une plaque carrée de 30 cm de côté quatre carrés de côté x aux coins, puis replie les bords pour former une boîte sans couvercle. Son volume est V(x) = x(30 − 2x)², pour x compris entre 0 et 15.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- V(2) et V(5) ?✔ Corrigé :
2 × 676 = 1 352 cm³ ; 5 × 400 = 2 000 cm³.
- Forme développée de V(x) ?✔ Corrigé :
4x³ − 120x² + 900x.
- Pourquoi x est‑il entre 0 et 15 ?✔ Corrigé :
Il faut que 30 − 2x reste positif.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Étudiez les variations.
- V′(x) ?✔ Corrigé :
12x² − 240x + 900 = 12(x − 5)(x − 15).
- Signe de V′(x) entre 0 et 15 ?✔ Corrigé :
Positif avant 5, négatif entre 5 et 15.
- Volume maximal ?✔ Corrigé :
V(5) = 2 000 cm³, soit 2 L.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au chef d'atelier (6 à 8 lignes) : quelle découpe choisir, quelles dimensions de boîte, et comment vous l'avez justifié ? Pour bien commencer : Le volume est maximal pour… · La boîte mesure alors… · J'ai justifié ce résultat par…
x = 5 cm ; boîte de 20 cm × 20 cm × 5 cm ; 2 000 cm³ ; tableau de variations ; ton professionnel.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
On cherche les racines de la dérivée. Un extremum est atteint quand f′ s'annule en changeant de signe. La boîte a un volume maximal pour x = 5 cm. Ce volume vaut 2000 cm³.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Analyser, raisonner | 7 |
| Activité 3 · Valider, communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
La dérivée de x³ est 3x².
La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2.
Si la dérivée est positive, la fonction est croissante.
Une dérivée nulle en un point ne suffit pas à prouver un extremum.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Calculez la dérivée de f(x) = 2x³ − 6x + 1. | 4 pts | f′(x) = 6x² − 6. 4 points. |
| 2 | On étudie g(x) = x³ − 3x pour x compris entre −3 et 3. Calculez g′(x), étudiez son signe, dressez le tableau de variations et donnez les extremums locaux. | 8 pts | g′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) : positive avant −1, négative entre −1 et 1, positive après 1. g(−3) = −18, maximum local g(−1) = 2, minimum local g(1) = −2, g(3) = 18. Dérivée et signe (4 pts), tableau et extremums (4 pts). |
| 3 | Avec ce tableau, combien de solutions a l'équation g(x) = 0 ? Et g(x) = 5 ? Justifiez, puis expliquez pourquoi la fonction cube n'a pas d'extremum en 0 alors que sa dérivée s'y annule. Pour bien commencer : *D'après le tableau de variations, …* · *Comme 5 est plus grand que…* · *Pour la fonction cube, la dérivée…* | 8 pts | g(x) = 0 : trois solutions (une sur chaque intervalle de monotonie, ce sont −√3, 0 et √3) ; g(x) = 5 : une seule, entre 1 et 3, car 5 est supérieur au maximum local 2. La dérivée de x³ est 3x², positive ou nulle : elle ne change pas de signe, la fonction reste croissante. Justifications (6 pts), rédaction (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : développer, dériver x² et x³, signe d'un trinôme à racines connues.
- Pour aller plus loin : chercher une valeur approchée d'une solution par balayage au tableur ou en Python.