Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Calculer le capital obtenu après n périodes avec la formule cn = c0 (1 + t) puissance n
- Comparer intérêts simples et intérêts composés
- Déterminer une durée de placement à l'aide du logarithme décimal ou de l'outil numérique
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Intérêts simples
- Intérêts calculés sur le seul capital initial : cn = c0 + n × c0 × t.
- Intérêts composés
- Les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts.
- Valeur acquise
- cn = c0 × (1 + t) puissance n.
- Lien avec les suites
- Simples : suite arithmétique ; composés : suite géométrique de raison 1 + t.
- Durée
- On résout (1 + t) puissance n ⩾ k, avec le logarithme décimal ou par tâtonnement au tableur.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| Début du IIe millénaire av. J.‑C. | Des tablettes babyloniennes calculent le temps nécessaire pour doubler un capital. |
| 1202 | Fibonacci traite de problèmes d'intérêts dans le Liber abaci. |
| 1683 | Jacques Bernoulli étudie la capitalisation de plus en plus fréquente, qui mène au nombre e. |
| Aujourd'hui | Livrets d'épargne et crédits reposent sur les intérêts composés. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, L'Univers des nombres, Belin, 2000.
- Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.
- Jordan Ellenberg, L'Art de ne pas dire n'importe quoi, Cassini, 2017.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Simples ou composés ?
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quel placement choisir pour une épargne ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Intérêts composés
Avec des intérêts simples au taux t, le capital augmente chaque période du même montant c0 × t : cn = c0 + n × c0 × t (suite arithmétique). Avec des intérêts composés, les intérêts de chaque période sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts : on multiplie par (1 + t) à chaque période, d'où cn = c0 × (1 + t) puissance n (suite géométrique de raison 1 + t). À long terme, la croissance géométrique dépasse toujours la croissance arithmétique.
Document 1 · Le conseil en agence
Situation-problème.
Dans une agence bancaire, un conseiller présente deux placements pour 5 000 € : A, à intérêts composés au taux annuel de 3 % ; B, à intérêts simples au taux annuel de 3,5 %.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez la première année.
- Intérêts de A la première année ?
- Intérêts de B chaque année ?
- Intérêts de A la deuxième année ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Calculez au tableur ou à la calculatrice.
- A après 8 ans ?
- B après 8 ans ?
- Après 15 ans ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un conseil (6 à 8 lignes) pour un client : quel placement selon la durée envisagée ? Utilisez le tableau du tableur. Pour bien commencer : À court terme, … · À partir de… ans, le placement A… · Je vous conseille donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Avec les intérêts simples, le capital augmente du même _______. Avec les intérêts composés, on multiplie par (1 + ______) chaque année. Les intérêts composés forment une suite ___________. À long terme, les intérêts ________ l'emportent.
Séance 2 · Combien de temps pour doubler ?
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Au bout de combien d'années le capital aura‑t‑il doublé ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Durée de placement
Pour trouver la durée n telle que le capital atteigne un montant donné, on résout c0 × (1 + t) puissance n ⩾ C, soit (1 + t) puissance n ⩾ C / c0. Méthodes : tableur (on prolonge la colonne jusqu'à dépasser C), algorithme (boucle while), ou logarithme décimal : n ⩾ log(C / c0) / log(1 + t), puis on prend l'entier supérieur. Ordre de grandeur utile : à 3 %, un capital double en un peu moins de 24 ans.
Document 1 · L'épargne de projet
Situation-problème.
Une jeune artisane place 5 000 € à intérêts composés à 3 % par an. Elle aimerait disposer de 7 500 € pour acheter du matériel, puis, à plus long terme, doubler son capital.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Posez le problème.
- Inéquation pour 7 500 € ?
- Inéquation pour doubler ?
- Méthode au tableur ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Résolvez.
- Pour 7 500 € ?
- Pour doubler ?
- Vérification au tableur ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un message à l'artisane (6 à 8 lignes) : dans combien de temps aura‑t‑elle 7 500 € ? Que pourrait‑elle faire pour y arriver plus vite ? Pour bien commencer : Avec ce placement, il faudra… · Pour atteindre ce montant plus vite, … · Je vous recommande…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
On résout (1 + t) puissance n ⩾ C / ______. Avec le logarithme, n ⩾ log(C / c0) / ______(1 + t). On prend ensuite l'entier _________. À 3 %, un capital double en ______ ans.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Avec les intérêts simples, le capital augmente chaque année du même _______.
Avec les intérêts composés, les intérêts produisent eux‑mêmes des ________.
La valeur acquise est cn = c0 × (1 + t) puissance ______.
Les intérêts composés correspondent à une suite ___________.
Ce que j'ai appris
- Calculer le capital obtenu après n périodes avec la formule cn = c0 (1 + t) puissance n
- Comparer intérêts simples et intérêts composés
- Déterminer une durée de placement à l'aide du logarithme décimal ou de l'outil numérique