Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Résoudre des équations cos x = a et sin x = b entre −π (exclu) et π, à l'aide du cercle trigonométrique
- Résoudre une équation sin(ωt + φ) = c sur un intervalle adapté au contexte
- Associer à une grandeur sinusoïdale a sin(ωt + φ) son vecteur de Fresnel et ajouter deux grandeurs de même fréquence
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Équation sin x = b
- Pour b entre −1 et 1, deux solutions symétriques par rapport à l'axe des ordonnées sur le cercle (x et π − x), une seule si b vaut 1 ou −1.
- Équation cos x = a
- Solutions x et −x, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
- Grandeur sinusoïdale
- a sin(ωt + φ) : amplitude a, pulsation ω, phase à l'origine φ ; période 2π/ω.
- Vecteur de Fresnel
- Vecteur de norme a faisant l'angle φ avec l'axe des abscisses.
- Somme
- Deux grandeurs de même fréquence s'ajoutent en ajoutant leurs vecteurs de Fresnel.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1748 | Euler fait du sinus une fonction d'un nombre réel. |
| Années 1820 | Augustin Fresnel représente des vibrations lumineuses par des vecteurs tournants. |
| 1822 | Fourier publie la Théorie analytique de la chaleur, qui décompose les fonctions en sinusoïdes. |
| Aujourd'hui | Les électrotechniciens utilisent la représentation de Fresnel pour les circuits en courant alternatif. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
- Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Robert Laffont, 2014.
- Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Équations trigonométriques
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
À quels instants la tension atteint‑elle un seuil ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Résoudre sur le cercle
Pour résoudre sin x = b entre −π (exclu) et π, on trace la droite horizontale d'ordonnée b : elle coupe le cercle trigonométrique en (au plus) deux points, images de x et π − x. Pour cos x = a, on trace la droite verticale d'abscisse a : solutions x et −x. On utilise les valeurs remarquables (sin(π/6) = 0,5, cos(π/3) = 0,5, sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2) ou la calculatrice (arcsin, arccos). Pour sin(ωt + φ) = c, on pose X = ωt + φ, on résout sin X = c, puis on revient à t sur l'intervalle utile (une période, par exemple).
Document 1 · Le seuil d'un automate
Situation-problème.
Un automate industriel se déclenche quand la tension u(t) = 10 sin(100πt) (en volts, t en secondes) atteint 5 V. On étudie une période, t compris entre 0 et 0,02 s.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Résolvez sur le cercle.
- sin x = 0,5 entre −π (exclu) et π ?
- cos x = 0,5 ?
- sin x = 1 ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Revenez au temps.
- Équation à résoudre ?
- Valeurs de 100πt sur une période ?
- Instants ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note technique (6 lignes) : à quels instants l'automate se déclenche‑t‑il, et combien de fois par seconde ? Pour bien commencer : La tension atteint 5 V quand… · Sur une période de 0,02 s, … · En une seconde, l'automate…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Entre −π (exclu) et π, sin x = 0,5 a deux solutions : π/6 et ______. Les solutions de cos x = a sont x et ______. Pour sin(ωt + φ) = c, on pose X = ______. Sur une période, la tension atteint 5 V ______ fois.
Séance 2 · La représentation de Fresnel
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle est l'amplitude de la somme de deux tensions ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Vecteurs de Fresnel
Une grandeur sinusoïdale a sin(ωt + φ) (a positif) est représentée par son vecteur de Fresnel : un vecteur de norme a faisant l'angle φ avec l'axe des abscisses ; ses coordonnées sont (a cos φ ; a sin φ). Pour additionner deux grandeurs de même fréquence, on additionne leurs vecteurs de Fresnel : la norme du vecteur somme donne l'amplitude, son angle donne la phase. En général, l'amplitude de la somme n'est pas la somme des amplitudes, sauf si les grandeurs sont en phase.
Document 1 · Deux générateurs en série
Situation-problème.
Dans un laboratoire d'électrotechnique, deux générateurs de même fréquence délivrent u1(t) = 3 sin(ωt) et u2(t) = 4 sin(ωt + π/2) (en volts). On cherche la tension totale u1 + u2.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Représentez.
- Vecteur de Fresnel de u1 ?
- Vecteur de Fresnel de u2 ?
- Vecteur somme ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Amplitude de u1 + u2 ?
- Phase ?
- Expression de u1 + u2 ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une explication (6 à 8 lignes) pour un camarade qui pense que l'amplitude totale vaut 3 + 4 = 7 V. Dans quel cas aurait‑il raison ? Pour bien commencer : Chaque tension est représentée par… · La somme des vecteurs a une norme de… · On obtiendrait 7 V seulement si…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Le vecteur de Fresnel de a sin(ωt + φ) a pour norme ______. Il fait l'angle ______ avec l'axe des abscisses. On additionne les ________ de Fresnel des deux tensions. L'amplitude de u1 + u2 vaut ______ V.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Entre −π (exclu) et π, l'équation sin x = 0,5 a ______ solutions.
Le vecteur de Fresnel de a sin(ωt + φ) a pour norme ______.
L'angle du vecteur de Fresnel avec l'axe des abscisses est la ______ φ.
Pour ajouter deux grandeurs de même fréquence, on ajoute leurs ________ de Fresnel.
Ce que j'ai appris
- Résoudre des équations cos x = a et sin x = b entre −π (exclu) et π, à l'aide du cercle trigonométrique
- Résoudre une équation sin(ωt + φ) = c sur un intervalle adapté au contexte
- Associer à une grandeur sinusoïdale a sin(ωt + φ) son vecteur de Fresnel et ajouter deux grandeurs de même fréquence