Trigonométrie : équations trigonométriques et représentation de Fresnel · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Terminale

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de Terminale professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 : suites géométriques, fonctions exponentielles et logarithme décimal (module mis en oeuvre avec la physique-chimie). Certification : arrêté du 17 juin 2020.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de terminale professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Géométrie », module « Trigonométrie » (groupement A)

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Résoudre des équations cos x = a et sin x = b entre −π (exclu) et π, à l'aide du cercle trigonométrique
Résoudre une équation sin(ωt + φ) = c sur un intervalle adapté au contexte
Associer à une grandeur sinusoïdale a sin(ωt + φ) son vecteur de Fresnel et ajouter deux grandeurs de même fréquence

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

cercle trigonométrique, valeurs remarquableséquations cos x = a, sin x = bgrandeur sinusoïdale a sin(ωt + φ) : amplitude, pulsation, phasevecteur de Fresnelsomme de deux grandeurs de même fréquence

Repères historiques

Euler, cosinus et sinus comme fonctions (1748)
Fourier, décomposition en sinusoïdes (1822)
Fresnel, représentation des vibrations lumineuses (années 1820)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « L'objectif de ce module est d'apprendre à résoudre certaines équations trigonométriques et de faire découvrir un outil permettant d'ajouter ou de soustraire des tensions ou des intensités sinusoïdales de même fréquence. »

Fresnel : « En classe terminale, ils font le lien entre vecteurs de Fresnel et fonctions trigonométriques. »

Équations : « Ils apprennent à résoudre certaines équations trigonométriques. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Équation sin x = b: Pour b entre −1 et 1, deux solutions symétriques par rapport à l'axe des ordonnées sur le cercle (x et π − x), une seule si b vaut 1 ou −1.
Équation cos x = a: Solutions x et −x, symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
Grandeur sinusoïdale: a sin(ωt + φ) : amplitude a, pulsation ω, phase à l'origine φ ; période 2π/ω.
Vecteur de Fresnel: Vecteur de norme a faisant l'angle φ avec l'axe des abscisses.
Somme: Deux grandeurs de même fréquence s'ajoutent en ajoutant leurs vecteurs de Fresnel.

Repères

Date	Événement
1748	Euler fait du sinus une fonction d'un nombre réel.
Années 1820	Augustin Fresnel représente des vibrations lumineuses par des vecteurs tournants.
1822	Fourier publie la Théorie analytique de la chaleur, qui décompose les fonctions en sinusoïdes.
Aujourd'hui	Les électrotechniciens utilisent la représentation de Fresnel pour les circuits en courant alternatif.

Les historiens en débat

Augustin Fresnel, ingénieur des Ponts et Chaussées, a expliqué les interférences lumineuses en représentant chaque vibration par un vecteur tournant. Sa méthode, transposée à l'électricité, permet d'additionner deux tensions de même fréquence par une simple somme de vecteurs, là où le calcul direct serait long. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Robert Laffont, 2014.
Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Équations trigonométriques	65 min	résoudre cos x = a, sin x = b et sin(ωt + φ) = c
Séance 2	La représentation de Fresnel	65 min	ajouter deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Équations trigonométriques

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

À quels instants la tension atteint‑elle un seuil ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Résoudre sur le cercle

Pour résoudre sin x = b entre −π (exclu) et π, on trace la droite horizontale d'ordonnée b : elle coupe le cercle trigonométrique en (au plus) deux points, images de x et π − x. Pour cos x = a, on trace la droite verticale d'abscisse a : solutions x et −x. On utilise les valeurs remarquables (sin(π/6) = 0,5, cos(π/3) = 0,5, sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2) ou la calculatrice (arcsin, arccos). Pour sin(ωt + φ) = c, on pose X = ωt + φ, on résout sin X = c, puis on revient à t sur l'intervalle utile (une période, par exemple).

Document 1 · Le seuil d'un automate

Situation-problème.

Un automate industriel se déclenche quand la tension u(t) = 10 sin(100πt) (en volts, t en secondes) atteint 5 V. On étudie une période, t compris entre 0 et 0,02 s.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Résolvez sur le cercle.

sin x = 0,5 entre −π (exclu) et π ?
✔ Corrigé :
π/6 et 5π/6.
cos x = 0,5 ?
✔ Corrigé :
π/3 et −π/3.
sin x = 1 ?
✔ Corrigé :
π/2 seulement.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Revenez au temps.

Équation à résoudre ?
✔ Corrigé :
sin(100πt) = 0,5.
Valeurs de 100πt sur une période ?
✔ Corrigé :
π/6 et 5π/6.
Instants ?
✔ Corrigé :
t = 1/600 ≈ 0,0017 s et t = 5/600 ≈ 0,0083 s.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note technique (6 lignes) : à quels instants l'automate se déclenche‑t‑il, et combien de fois par seconde ? Pour bien commencer : La tension atteint 5 V quand… · Sur une période de 0,02 s, … · En une seconde, l'automate…

✔ Corrigé rédigé :

Deux instants par période ; 50 périodes par seconde, donc 100 déclenchements ; méthode expliquée ; clarté.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Entre −π (exclu) et π, sin x = 0,5 a deux solutions : π/6 et 5π/6. Les solutions de cos x = a sont x et −x. Pour sin(ωt + φ) = c, on pose X = ωt + φ. Sur une période, la tension atteint 5 V deux fois.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · La représentation de Fresnel

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle est l'amplitude de la somme de deux tensions ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Vecteurs de Fresnel

Une grandeur sinusoïdale a sin(ωt + φ) (a positif) est représentée par son vecteur de Fresnel : un vecteur de norme a faisant l'angle φ avec l'axe des abscisses ; ses coordonnées sont (a cos φ ; a sin φ). Pour additionner deux grandeurs de même fréquence, on additionne leurs vecteurs de Fresnel : la norme du vecteur somme donne l'amplitude, son angle donne la phase. En général, l'amplitude de la somme n'est pas la somme des amplitudes, sauf si les grandeurs sont en phase.

Document 1 · Deux générateurs en série

Situation-problème.

Dans un laboratoire d'électrotechnique, deux générateurs de même fréquence délivrent u1(t) = 3 sin(ωt) et u2(t) = 4 sin(ωt + π/2) (en volts). On cherche la tension totale u1 + u2.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Représentez.

Vecteur de Fresnel de u1 ?
✔ Corrigé :
Norme 3, angle 0 : (3 ; 0).
Vecteur de Fresnel de u2 ?
✔ Corrigé :
Norme 4, angle π/2 : (0 ; 4).
Vecteur somme ?
✔ Corrigé :
(3 ; 4).

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

Amplitude de u1 + u2 ?
✔ Corrigé :
√(9 + 16) = 5 V.
Phase ?
✔ Corrigé :
Angle dont la tangente vaut 4/3, environ 0,93 rad (53°).
Expression de u1 + u2 ?
✔ Corrigé :
5 sin(ωt + 0,93).

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une explication (6 à 8 lignes) pour un camarade qui pense que l'amplitude totale vaut 3 + 4 = 7 V. Dans quel cas aurait‑il raison ? Pour bien commencer : Chaque tension est représentée par… · La somme des vecteurs a une norme de… · On obtiendrait 7 V seulement si…

✔ Corrigé rédigé :

Vecteurs de Fresnel ; amplitude 5 V ; cas des tensions en phase ; vérification possible au grapheur ; clarté.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Le vecteur de Fresnel de a sin(ωt + φ) a pour norme a. Il fait l'angle φ avec l'axe des abscisses. On additionne les vecteurs de Fresnel des deux tensions. L'amplitude de u1 + u2 vaut 5 V.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Entre −π (exclu) et π, l'équation sin x = 0,5 a deux solutions.

Le vecteur de Fresnel de a sin(ωt + φ) a pour norme a.

L'angle du vecteur de Fresnel avec l'axe des abscisses est la phase φ.

Pour ajouter deux grandeurs de même fréquence, on ajoute leurs vecteurs de Fresnel.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Résolvez, entre −π (exclu) et π : sin x = 0,5, puis cos x = 0,5.	4 pts	sin x = 0,5 : π/6 et 5π/6 ; cos x = 0,5 : π/3 et −π/3. 1 point par solution.
2	La tension u(t) = 10 sin(100πt) (en V) ; t est compris entre 0 et 0,02 s. Résolvez u(t) = 5 et interprétez.	8 pts	sin(100πt) = 0,5 ; 100πt = π/6 ou 5π/6 ; t = 1/600 ≈ 0,0017 s ou t = 5/600 ≈ 0,0083 s : deux instants par période où la tension vaut 5 V. Mise en équation (3 pts), résolution (3 pts), interprétation (2 pts).
3	Deux tensions de même fréquence : u1(t) = 3 sin(ωt) et u2(t) = 4 sin(ωt + π/2). À l'aide des vecteurs de Fresnel, déterminez l'amplitude et la phase de u1 + u2, puis expliquez la méthode à un camarade. Pour bien commencer : Je représente chaque tension par… · La somme des vecteurs a pour coordonnées… · L'amplitude obtenue est… et non…	8 pts	Vecteurs (3 ; 0) et (0 ; 4) ; somme (3 ; 4), norme 5, angle ≈ 0,93 rad (53°). u1 + u2 = 5 sin(ωt + 0,93). L'amplitude n'est pas 3 + 4 = 7. Calculs (5 pts), explication (3 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : valeurs remarquables du cosinus et du sinus, conversion degrés et radians, théorème de Pythagore.
Pour aller plus loin : vérifier une somme de sinusoïdes avec un grapheur gratuit.