Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Passer d'une forme à l'autre d'un trinôme (développée, canonique, factorisée)
- Résoudre une équation du second degré avec le discriminant ou une stratégie plus rapide (racine évidente, somme et produit)
- Étudier le signe d'un trinôme et résoudre une inéquation ; optimiser
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Tablettes babyloniennes : problèmes du second degré (vers 1800 av. J.‑C.)
- Al‑Khwarizmi, *Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison* (vers 820)
- François Viète, relations entre coefficients et racines (fin du XVIe siècle)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d'une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d'un problème (équation, inéquation, optimisation, variations). »
Stratégies : « Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Trinôme
- Fonction f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 ; sa courbe est une parabole.
- Forme canonique
- f(x) = a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = f(α) ; le sommet est S(α ; β).
- Discriminant
- Δ = b² − 4ac : deux racines si Δ > 0, une racine double si Δ = 0, aucune racine réelle si Δ < 0.
- Racines
- x₁ = (−b − √Δ)/(2a), x₂ = (−b + √Δ)/(2a) ; somme −b/a, produit c/a.
- Forme factorisée
- f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) si Δ > 0.
- Signe
- Le trinôme est du signe de a sauf entre ses racines.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1800 av. J.‑C. | Des tablettes babyloniennes résolvent des problèmes de longueur et de surface menant au second degré. |
| vers 820 | Al‑Khwarizmi classe les équations du second degré et les résout géométriquement. |
| 1591 | Viète utilise des lettres pour les coefficients, ce qui permet des formules générales. |
| 1637 | Descartes donne des notations proches des nôtres dans La Géométrie. |
Les historiens en débat
Les problèmes du second degré sont parmi les plus anciens connus : scribes babyloniens, savants indiens et arabes les résolvaient par des procédés géométriques (« compléter le carré »), qui correspondent à notre forme canonique. Le discriminant n'est qu'une formule générale ; le programme invite à diversifier les stratégies et à choisir la forme utile. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Forme canonique et discriminant | 65 min | résoudre une équation du second degré en choisissant la méthode |
| Séance 2 | Signe du trinôme et optimisation | 65 min | étudier le signe et utiliser la forme canonique pour optimiser |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Forme canonique et discriminant
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment résoudre ax² + bx + c = 0 dans tous les cas ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Compléter le carré
Pour a ≠ 0, on complète le carré : ax² + bx + c = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)] avec Δ = b² − 4ac. D'où la forme canonique a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α). Si Δ > 0, deux racines x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a), et f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) ; si Δ = 0, une racine double α ; si Δ < 0, aucune racine réelle. Avant d'appliquer la formule, on cherche une stratégie plus rapide : identité remarquable, racine évidente (souvent 1 ou −1), puis l'autre racine par le produit c/a ou la somme −b/a.
Document 1 · La méthode d'Al‑Khwarizmi
Situation-problème.
Al‑Khwarizmi résout « un carré et dix racines égalent trente‑neuf », c'est‑à‑dire x² + 10x = 39, en complétant un carré de côté x par quatre rectangles, puis par quatre petits carrés. On veut retrouver sa solution par le calcul.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Complétez le carré.
- Montrez que x² + 10x = (x + 5)² − 25.✔ Corrigé :
(x + 5)² = x² + 10x + 25.
- Résolvez x² + 10x = 39.✔ Corrigé :
(x + 5)² = 64, x + 5 = 8 ou −8 : x = 3 ou x = −13.
- Pourquoi Al‑Khwarizmi ne donne‑t‑il que 3 ?✔ Corrigé :
Il travaille avec des longueurs, donc positives.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez sans calculatrice en choisissant la méthode.
- x² − 4x + 4 = 0.✔ Corrigé :
(x − 2)² = 0 : x = 2.
- 3x² + 2x − 5 = 0.✔ Corrigé :
1 est racine évidente ; produit −5/3, l'autre est −5/3.
- x² + x + 1 = 0.✔ Corrigé :
Δ = −3 < 0 : pas de solution réelle.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez que si Δ > 0, x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a. Rédigez en 6 à 8 lignes. Pour bien commencer : En additionnant les deux formules, … · Pour le produit, on utilise l'identité… · On obtient bien…
Somme : −2b/(2a) = −b/a ; produit : (b² − Δ)/(4a²) = 4ac/(4a²) = c/a ; rédaction claire avec les formules des racines.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La forme canonique s'obtient en complétant le carré. Si Δ est négatif, le trinôme n'a pas de racine réelle. Avant la formule, on cherche une racine évidente puis on utilise le produit des racines.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Signe du trinôme et optimisation
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quel prix fixer pour un bénéfice maximal ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Signe et sommet
Si Δ > 0, f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) : un tableau de signes montre que f est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles. Si Δ ≤ 0, f est du signe de a (et s'annule en α si Δ = 0). La forme canonique donne le sommet S(α ; β) de la parabole : si a < 0, β est le maximum de f, atteint en α ; si a > 0, c'est le minimum. On choisit la forme utile : factorisée pour le signe et les solutions, canonique pour l'extremum, développée pour l'ordonnée à l'origine.
Document 1 · Le prix d'un concert
Situation-problème.
Une association organise un concert. Avec un billet à x euros, elle prévoit de vendre 600 − 20x billets (pour 5 ≤ x ≤ 30). Les frais fixes s'élèvent à 2 000 €. Le bénéfice est B(x) = x(600 − 20x) − 2 000.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Exploitez les formes.
- Développez B(x).✔ Corrigé :
B(x) = −20x² + 600x − 2 000.
- Vérifiez que B(x) = −20(x − 15)² + 2 500.✔ Corrigé :
−20(x² − 30x + 225) + 2 500 = −20x² + 600x − 2 000.
- Prix optimal et bénéfice maximal ?✔ Corrigé :
15 € ; 2 500 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Cours
Étudiez le signe de B.
- Racines de B ?✔ Corrigé :
(x − 15)² = 125, x = 15 ± √125 ≈ 3,82 et 26,18.
- Signe de B sur [5 ; 30] ?✔ Corrigé :
a < 0 : positif entre les racines, donc sur [5 ; 26,18[, négatif après.
- À partir de quel prix l'association perd‑elle de l'argent ?✔ Corrigé :
Au‑delà d'environ 26,18 €, soit à partir de 27 € pour un prix entier.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au bureau de l'association (8 lignes) : prix conseillé, bénéfice attendu, prix à ne pas dépasser. Justifiez par les formes du trinôme. Pour bien commencer : La forme canonique montre que… · Le bénéfice est positif tant que… · Je conseille donc…
Forme canonique et maximum (15 € ; 2 500 €) ; racines et signe ; seuil vers 26 € ; conseil argumenté ; unités et vocabulaire.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Un trinôme est du signe de a sauf entre ses racines. Si a < 0, le sommet de la parabole donne le maximum. Pour le signe, on utilise la forme factorisée ; pour l'extremum, la forme canonique.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Raisonner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
La forme canonique d'un trinôme est a(x − α)² + β.
Si Δ > 0, l'équation ax² + bx + c = 0 a deux solutions réelles.
Si x₁ et x₂ sont les racines, leur produit vaut c/a.
Un trinôme est du signe de a à l'extérieur de ses racines.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Sans calculatrice : factorisez x² − 6x + 9 ; donnez les racines de 2(x − 1)(x + 3) ; trouvez une racine évidente de x² + 4x − 5 et déduisez l'autre. | 4 pts | (x − 3)² ; 1 et −3 ; 1 est racine (1 + 4 − 5 = 0), produit des racines −5 donc l'autre est −5. Un point, un point, deux points. |
| 2 | Résolvez 2x² − 3x − 2 = 0 puis 2x² − 3x − 2 > 0. Dressez le tableau de signes. | 8 pts | Δ = 9 + 16 = 25 ; x₁ = (3 − 5)/4 = −1/2, x₂ = 2. a = 2 > 0 : positif à l'extérieur des racines ; solutions ]−∞ ; −1/2[ ∪ ]2 ; +∞[. Discriminant et racines (4 pts), tableau et solutions (4 pts). |
| 3 | Une balle est lancée ; sa hauteur en mètres est h(t) = −5t² + 10t + 1,25 (t en secondes). Écrivez h sous forme canonique, donnez la hauteur maximale, puis l'instant où la balle touche le sol. Rédigez sans calculatrice. Pour bien commencer : *La forme canonique s'obtient…* · *Comme un carré est positif, …* · *La balle touche le sol lorsque…* | 8 pts | h(t) = −5(t − 1)² + 6,25 : maximum 6,25 m à t = 1 s. h(t) = 0 ⟺ (t − 1)² = 1,25 ⟺ t = 1 + √1,25 ≈ 2,12 s (t ≥ 0). Forme canonique (3 pts), maximum (2 pts), instant (3 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes sans calculatrice : identités remarquables, calcul de Δ, résolution de x² = a.
- Pour aller plus loin : trouver deux nombres dont la somme vaut 10 et le produit 21 comme racines de x² − 10x + 21.