La fonction exponentielle : croissances et décroissances à taux constant · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée général · Première

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de spécialité de mathématiques de 1re générale publié au BO du 2 avril 2026, en vigueur à la rentrée 2026. Épreuve anticipée de mathématiques en fin de 1re à partir de la session 2028 (note de service du 11 septembre 2026).

Place dans le programmeProgramme de spécialité de mathématiques de première générale (BO du 2 avril 2026, en vigueur à la rentrée 2026), partie « Analyse », section « Fonction exponentielle »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Connaître la définition de exp (f' = f, f(0) = 1) et ses propriétés algébriques
Étudier signe, variations et courbe de exp, dériver t ↦ e^(at)
Modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle et la relier aux suites géométriques

Capacités travaillées (BO)

Chercher, expérimenter (outils numériques)
Modéliser une situation
Représenter, changer de registre
Raisonner, démontrer
Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
Communiquer un résultat, expliquer une démarche

Notions et définitions

fonction exponentielle, nombre eexp(x + y) = exp(x) exp(y)dérivée de t ↦ e^(at)croissance, décroissance exponentiellelien avec les suites géométriques

Repères historiques

Jacques Bernoulli et le problème des intérêts composés (1683)
Euler, *Introductio in analysin infinitorum* (1748) : la notation e
Méthode d'Euler pour approcher une solution de f' = f (1768)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Modéliser : « Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle (par exemple évolution d'un capital à taux fixe, décroissance radioactive). »

Contenu : « Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle. Lien avec les suites géométriques. »

Exemple d'algorithme : « Construction de l'exponentielle par la méthode d'Euler. »

Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »

Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).

Notions : définitions rigoureuses

Fonction exponentielle: Unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp' = exp et exp(0) = 1 ; on note exp(x) = eˣ.
Nombre e: e = exp(1) ≈ 2,718.
Propriétés algébriques: e^(a + b) = e^a e^b ; e^(−a) = 1/e^a ; e^(a − b) = e^a/e^b ; (e^a)ⁿ = e^(na).
Signe et variations: eˣ > 0 pour tout x ; exp est strictement croissante sur ℝ.
Dérivée de e^(at): (e^(at))' = a e^(at) : croissance si a > 0, décroissance si a < 0.
Lien avec les suites: Pour a réel, la suite (e^(na)) est géométrique de raison e^a.

Repères

Date	Événement
1683	Jacques Bernoulli étudie les intérêts composés de plus en plus souvent et rencontre le nombre e.
1748	Euler publie l'Introductio : définitions de e et de l'exponentielle.
1768	Euler expose sa méthode d'approximation des solutions d'équations différentielles.
1896	Becquerel découvre la radioactivité, dont la décroissance est exponentielle.

Les historiens en débat

L'exponentielle naît d'un problème financier (que devient un capital si l'on compose les intérêts à chaque instant ?) et devient avec Euler une fonction centrale de l'analyse. Elle modélise toute grandeur dont la vitesse de variation est proportionnelle à la grandeur elle‑même : populations, radioactivité, refroidissement, médicaments. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
Lire · épreuve anticipée de mathématiques (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.
Ian Stewart, 17 Equations That Changed the World, Profile Books, 2012.
Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Définition et propriétés algébriques	65 min	découvrir exp avec la méthode d'Euler et calculer avec ses propriétés
Séance 2	Variations et modèles exponentiels	65 min	étudier e^(at) et modéliser une évolution
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Définition et propriétés algébriques

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Existe‑t‑il une fonction égale à sa dérivée ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · La fonction exp

On admet qu'il existe une unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1 : c'est la fonction exponentielle, notée exp. Méthode d'Euler : comme f(x + h) ≈ f(x) + h f'(x) = (1 + h) f(x), on construit point par point une approximation : f(0) = 1, f(h) ≈ 1 + h, f(2h) ≈ (1 + h)²… On démontre que exp ne s'annule pas et que exp(a + b) = exp(a) × exp(b). On note e = exp(1) ≈ 2,718 et exp(x) = eˣ : les règles sont celles des puissances, e^(−a) = 1/e^a, e^(a − b) = e^a/e^b, (e^a)ⁿ = e^(na).

Document 1 · La méthode d'Euler sur tableur

Situation-problème.

Le professeur dépose sur l'ENT un tableur : colonne A les valeurs x = 0 ; 0,1 ; 0,2 ; … ; 1, colonne B les valeurs approchées obtenues par B(suivant) = B(précédent) × 1,1, en partant de 1.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Exploitez le tableur.

Pourquoi multiplie‑t‑on par 1,1 à chaque ligne ?
✔ Corrigé :
f(x + 0,1) ≈ f(x) + 0,1 f(x) = 1,1 f(x) car f' = f.
Valeur approchée obtenue pour x = 1 ?
✔ Corrigé :
1,1¹⁰ ≈ 2,594.
Avec un pas de 0,01, on obtient 1,01¹⁰⁰ ≈ 2,705. Que conjecturer ?
✔ Corrigé :
Les valeurs approchent e ≈ 2,718 quand le pas diminue.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Simplifiez sans calculatrice.

e² × e³ ; e⁴/e⁶.
✔ Corrigé :
e⁵ ; e⁻².
(eˣ)² × e^(−x).
✔ Corrigé :
eˣ.
Résolvez e^(2x) = e^(x + 3).
✔ Corrigé :
exp strictement croissante donc 2x = x + 3, x = 3.

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Démontrer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Démontrez que exp(x) × exp(−x) = 1 en étudiant la fonction g(x) = exp(x) exp(−x) (dérivée nulle). Rédigez en 6 à 8 lignes et déduisez‑en que exp ne s'annule jamais. Pour bien commencer : Je dérive g comme un produit… · La dérivée étant nulle, g est… · Comme g(0) = 1, …

✔ Corrigé rédigé :

g'(x) = exp(x) exp(−x) − exp(x) exp(−x) = 0 ; g constante égale à g(0) = 1 ; donc exp(x) exp(−x) = 1 et exp(x) ≠ 0 ; rédaction rigoureuse.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

L'exponentielle est l'unique fonction telle que f' = f et f(0) = 1. On a e^(a + b) = e^a × e^b. e^(−a) est l'inverse de e^a. Le nombre e vaut environ 2,718.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · S'entraîner	7
Activité 3 · Démontrer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Variations et modèles exponentiels

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment décrire la disparition d'un médicament dans le sang ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Croissance et décroissance exponentielles

Comme exp' = exp et exp(x) > 0, la fonction exp est strictement croissante ; sa courbe passe par (0 ; 1), sa tangente en 0 a pour équation y = x + 1. Pour un réel a, la fonction t ↦ e^(at) a pour dérivée a e^(at) : elle est croissante si a > 0 (croissance exponentielle), décroissante si a < 0 (décroissance exponentielle, t ↦ e^(−kt)). Pour tout entier n, e^(na) = (e^a)ⁿ : la suite (e^(na)) est géométrique de raison e^a. Un modèle f(t) = C e^(at) traduit une variation proportionnelle à la quantité présente : f' = a f.

Document 1 · Élimination d'un médicament

Situation-problème.

Un patient reçoit une injection. La concentration du produit dans le sang est modélisée par C(t) = 20 e^(−0,1t) (mg/L), t en heures. Le médicament n'est plus efficace sous 5 mg/L. Valeurs fournies : e^(−0,5) ≈ 0,61 ; e^(−1) ≈ 0,37 ; e^(−1,4) ≈ 0,25.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

C(0), C(5), C(10) ?
✔ Corrigé :
20 ; ≈ 12,2 ; ≈ 7,4 mg/L.
Vers quelle heure la concentration vaut‑elle 5 mg/L ?
✔ Corrigé :
20 e^(−0,1t) = 5 ⟺ e^(−0,1t) = 0,25, soit t ≈ 14 h.
De quel pourcentage la concentration diminue‑t‑elle chaque heure (e^(−0,1) ≈ 0,905) ?
✔ Corrigé :
D'environ 9,5 % par heure.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez le modèle.

Calculez C'(t) et son signe.
✔ Corrigé :
C'(t) = −2 e^(−0,1t) < 0.
Vérifiez que C' = −0,1 C. Interprétez.
✔ Corrigé :
La vitesse d'élimination est proportionnelle à la concentration.
Montrez que (C(n)) est géométrique.
✔ Corrigé :
C(n + 1) = e^(−0,1) C(n), raison ≈ 0,905.

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une explication pour une affiche de prévention (8 lignes) : pourquoi le médicament disparaît vite au début puis lentement, et au bout de combien de temps une nouvelle prise est envisagée selon ce modèle (sans conseil médical). Pour bien commencer : La concentration est modélisée par… · Sa dérivée montre que… · Selon ce modèle, …

✔ Corrigé rédigé :

Décroissance justifiée par la dérivée ; vitesse proportionnelle à C ; seuil vers 14 h ; mention que le modèle est fictif et ne remplace pas une prescription ; clarté.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

La fonction exp est strictement croissante sur ℝ. La dérivée de t ↦ e^(at) est a e^(at). Si a < 0, on parle de décroissance exponentielle. La suite (e^(na)) est géométrique de raison e^a.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · Raisonner	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1.

Pour tous réels a et b, e^(a + b) = e^a × e^b.

La fonction exponentielle est strictement positive et strictement croissante.

La dérivée de t ↦ e^(at) est t ↦ a e^(at).

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Sans calculatrice, simplifiez : e³ × e⁻¹ ; (e²)³ ; e⁵/e² ; e^x × e^(−x).	4 pts	e² ; e⁶ ; e³ ; 1. Un point par résultat.
2	Soit f(t) = 20 e^(−0,1t) la concentration (mg/L) d'un médicament dans le sang, t en heures. Calculez f'(t), étudiez les variations de f, puis la concentration après 5 h (calculatrice autorisée pour cette question en classe, valeur e^(−0,5) ≈ 0,61 fournie).	8 pts	f'(t) = −2 e^(−0,1t) < 0 : f est décroissante ; f(5) = 20 e^(−0,5) ≈ 12,2 mg/L. Dérivée (3 pts), variations justifiées (3 pts), valeur (2 pts).
3	On place 1 000 € à 2 % par an. Comparez le modèle discret uₙ = 1 000 × 1,02ⁿ et le modèle continu f(t) = 1 000 e^(0,0198t). Expliquez pourquoi ils sont très proches (e^0,0198 ≈ 1,02) et ce que représente chacun. Pour bien commencer : Pour un entier n, f(n) s'écrit… · Comme e^0,0198 ≈ 1,02, … · Le modèle discret décrit… tandis que…	8 pts	f(n) = 1 000 (e^0,0198)ⁿ ≈ 1 000 × 1,02ⁿ = uₙ : la suite géométrique est la restriction aux entiers d'une exponentielle ; uₙ décrit le capital à chaque anniversaire, f(t) une évolution continue. Calcul (4 pts), interprétation (4 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : règles des puissances, passer de +2 % au coefficient 1,02.
Pour aller plus loin : programmer la méthode d'Euler avec un pas de 0,1 et comparer avec la courbe de exp.