Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Calculer un produit scalaire par la projection, le cosinus, les coordonnées ou les normes
- Démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur
- Démontrer et utiliser la formule d'Al-Kashi
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Définition par la projection
- Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), AB · AC = AB × AH si H est du côté de B, −AB × AH sinon.
- Formule avec le cosinus
- u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ.
- Base orthonormée
- u(x ; y) · v(x' ; y') = xx' + yy' et ‖u‖² = u · u = x² + y².
- Formule avec les normes
- u · v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)/2.
- Orthogonalité
- u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
- Al‑Kashi
- Dans un triangle, a² = b² + c² − 2bc cos  ; si  est droit, on retrouve Pythagore.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide énonce aux propositions II.12 et II.13 des Éléments une forme géométrique du théorème. |
| 1427 | Al‑Kashi donne des méthodes trigonométriques de résolution des triangles. |
| 1843 | Hamilton invente les quaternions, d'où sortiront produit scalaire et produit vectoriel. |
| 1881‑1884 | Gibbs fixe la notation du produit scalaire en physique. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
- Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
- Richard Courant et Herbert Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Quatre façons de calculer un produit scalaire
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quel travail fournit une force qui tire un traîneau en biais ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Définitions du produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Quatre expressions équivalentes : par la projection (AB · AC = AB × AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB), avec un signe moins si H et B sont de part et d'autre de A) ; avec le cosinus : u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ ; avec les coordonnées en base orthonormée : xx' + yy' ; avec les normes : u · v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)/2. Propriétés : u · v = v · u, u · (v + w) = u · v + u · w, (ku) · v = k(u · v), u · u = ‖u‖². En physique, le travail d'une force F sur un déplacement AB est W = F · AB.
Document 1 · Le traîneau
Situation-problème.
Un enfant tire un traîneau sur 50 m en ligne droite avec une corde qui fait un angle de 30° avec le sol ; la force exercée vaut 40 N. Un camarade propose de tirer avec un angle de 60° et la même force.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez le travail.
- Travail avec un angle de 30° (cos 30° ≈ 0,866) ?
- Avec 60° ?
- Et si la corde était verticale ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Choisissez la méthode.
- u(2 ; −3), v(5 ; 1).
- ABCD carré de côté 4 : AB · AC.
- ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 2, ‖u + v‖ = 4.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Expliquez au camarade (6 à 8 lignes), avec le produit scalaire, pourquoi tirer à 60° est moins efficace, et quel angle serait le plus efficace. Pour bien commencer : Le travail de la force est le produit scalaire… · Il dépend du cosinus de l'angle… · L'angle le plus efficace est…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un ______. u · v = ‖u‖ ‖v‖ ______. En base orthonormée, u · v = _________. u · u est égal à ______.
Séance 2 · Orthogonalité et formule d'Al‑Kashi
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment calculer une distance inaccessible ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Al‑Kashi et orthogonalité
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ; en base orthonormée : xx' + yy' = 0. Formule d'Al‑Kashi : dans un triangle ABC avec a = BC, b = AC, c = AB, a² = b² + c² − 2bc cos Â. Démonstration : BC = AC − AB (vecteurs), donc BC² = AC² − 2 AB · AC + AB² = b² + c² − 2bc cos Â. Elle permet de calculer un côté connaissant deux côtés et l'angle compris, ou un angle connaissant les trois côtés. Si  = π/2, on retrouve Pythagore.
Document 1 · Le lac
Situation-problème.
Deux balises A et B sont situées sur les rives opposées d'un lac. Depuis un point C sur la berge, un géomètre mesure CA = 300 m, CB = 450 m et un angle ACB de 75° (cos 75° ≈ 0,259).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez la distance AB.
- Écrivez la formule d'Al-Kashi adaptée.
- Calculez AB.
- Que donnerait la formule si l'angle était droit ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Démontrez ou calculez.
- Triangle de côtés 4, 5, 6 : cosinus du plus grand angle.
- A(0 ; 0), B(4 ; 2), C(1 ; 5) : ABC rectangle en A ?
- Trouvez m pour que u(m ; 3) ⊥ v(6 ; −2).
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez la formule d'Al‑Kashi avec le produit scalaire, puis rédigez le compte rendu du géomètre (8 lignes) donnant la distance AB. Pour bien commencer : J'écris BC comme une différence de vecteurs… · En développant le carré scalaire, … · Appliquée au lac, la formule donne…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est ______. Al‑Kashi : a² = b² + c² − 2bc ______. Si l'angle  est droit, on retrouve le théorème de _________. La formule permet de calculer un ______ ou un angle.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × ______, où θ est l'angle entre u et v.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est ______.
Dans une base orthonormée, u(x ; y) · v(x' ; y') = _________.
Formule d'Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc ______.
Ce que j'ai appris
- Calculer un produit scalaire par la projection, le cosinus, les coordonnées ou les normes
- Démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur
- Démontrer et utiliser la formule d'Al-Kashi