Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Calculer un produit scalaire par la projection, le cosinus, les coordonnées ou les normes
- Démontrer une orthogonalité, calculer un angle ou une longueur
- Démontrer et utiliser la formule d'Al-Kashi
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Al‑Kashi, *La Clé de l'arithmétique* (1427)
- Grassmann et Hamilton : produits de vecteurs (années 1840)
- Gibbs, *Elements of Vector Analysis* (1881‑1884)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan. »
Démonstration au programme : « Formule d'Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire). »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Définition par la projection
- Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), AB · AC = AB × AH si H est du côté de B, −AB × AH sinon.
- Formule avec le cosinus
- u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ.
- Base orthonormée
- u(x ; y) · v(x' ; y') = xx' + yy' et ‖u‖² = u · u = x² + y².
- Formule avec les normes
- u · v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)/2.
- Orthogonalité
- u et v sont orthogonaux si et seulement si u · v = 0.
- Al‑Kashi
- Dans un triangle, a² = b² + c² − 2bc cos  ; si  est droit, on retrouve Pythagore.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide énonce aux propositions II.12 et II.13 des Éléments une forme géométrique du théorème. |
| 1427 | Al‑Kashi donne des méthodes trigonométriques de résolution des triangles. |
| 1843 | Hamilton invente les quaternions, d'où sortiront produit scalaire et produit vectoriel. |
| 1881‑1884 | Gibbs fixe la notation du produit scalaire en physique. |
Les historiens en débat
La formule d'Al‑Kashi généralise le théorème de Pythagore ; elle apparaît déjà sous forme géométrique chez Euclide. Le produit scalaire, issu des travaux du XIXe siècle sur les vecteurs, permet d'unifier ces résultats et de les transformer en calculs. En physique, il exprime le travail d'une force. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
- Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
- Richard Courant et Herbert Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Quatre façons de calculer un produit scalaire | 65 min | choisir la méthode adaptée pour calculer u · v |
| Séance 2 | Orthogonalité et formule d'Al‑Kashi | 65 min | démontrer une orthogonalité et calculer dans un triangle quelconque |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Quatre façons de calculer un produit scalaire
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quel travail fournit une force qui tire un traîneau en biais ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Définitions du produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Quatre expressions équivalentes : par la projection (AB · AC = AB × AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB), avec un signe moins si H et B sont de part et d'autre de A) ; avec le cosinus : u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ ; avec les coordonnées en base orthonormée : xx' + yy' ; avec les normes : u · v = (‖u + v‖² − ‖u‖² − ‖v‖²)/2. Propriétés : u · v = v · u, u · (v + w) = u · v + u · w, (ku) · v = k(u · v), u · u = ‖u‖². En physique, le travail d'une force F sur un déplacement AB est W = F · AB.
Document 1 · Le traîneau
Situation-problème.
Un enfant tire un traîneau sur 50 m en ligne droite avec une corde qui fait un angle de 30° avec le sol ; la force exercée vaut 40 N. Un camarade propose de tirer avec un angle de 60° et la même force.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez le travail.
- Travail avec un angle de 30° (cos 30° ≈ 0,866) ?✔ Corrigé :
40 × 50 × 0,866 ≈ 1 732 J.
- Avec 60° ?✔ Corrigé :
40 × 50 × 0,5 = 1 000 J.
- Et si la corde était verticale ?✔ Corrigé :
cos 90° = 0 : travail nul, le traîneau n'avance pas grâce à cette force.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Choisissez la méthode.
- u(2 ; −3), v(5 ; 1).✔ Corrigé :
10 − 3 = 7.
- ABCD carré de côté 4 : AB · AC.✔ Corrigé :
Projection de C sur (AB) en B : 4 × 4 = 16.
- ‖u‖ = 3, ‖v‖ = 2, ‖u + v‖ = 4.✔ Corrigé :
(16 − 9 − 4)/2 = 1,5.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Expliquez au camarade (6 à 8 lignes), avec le produit scalaire, pourquoi tirer à 60° est moins efficace, et quel angle serait le plus efficace. Pour bien commencer : Le travail de la force est le produit scalaire… · Il dépend du cosinus de l'angle… · L'angle le plus efficace est…
W = F · AB = ‖F‖ ‖AB‖ cos θ ; cos décroissant sur [0 ; π/2] ; comparaison numérique ; θ = 0 optimal (tirer parallèlement au sol) ; vocabulaire.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. u · v = ‖u‖ ‖v‖ cos θ. En base orthonormée, u · v = xx' + yy'. u · u est égal à ‖u‖².
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Orthogonalité et formule d'Al‑Kashi
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment calculer une distance inaccessible ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Al‑Kashi et orthogonalité
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul ; en base orthonormée : xx' + yy' = 0. Formule d'Al‑Kashi : dans un triangle ABC avec a = BC, b = AC, c = AB, a² = b² + c² − 2bc cos Â. Démonstration : BC = AC − AB (vecteurs), donc BC² = AC² − 2 AB · AC + AB² = b² + c² − 2bc cos Â. Elle permet de calculer un côté connaissant deux côtés et l'angle compris, ou un angle connaissant les trois côtés. Si  = π/2, on retrouve Pythagore.
Document 1 · Le lac
Situation-problème.
Deux balises A et B sont situées sur les rives opposées d'un lac. Depuis un point C sur la berge, un géomètre mesure CA = 300 m, CB = 450 m et un angle ACB de 75° (cos 75° ≈ 0,259).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez la distance AB.
- Écrivez la formule d'Al-Kashi adaptée.✔ Corrigé :
AB² = CA² + CB² − 2 CA × CB cos C.
- Calculez AB.✔ Corrigé :
AB² ≈ 90 000 + 202 500 − 69 930 = 222 570, AB ≈ 472 m.
- Que donnerait la formule si l'angle était droit ?✔ Corrigé :
AB² = CA² + CB² : Pythagore.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Démontrez ou calculez.
- Triangle de côtés 4, 5, 6 : cosinus du plus grand angle.✔ Corrigé :
cos = (16 + 25 − 36)/40 = 1/8.
- A(0 ; 0), B(4 ; 2), C(1 ; 5) : ABC rectangle en A ?✔ Corrigé :
AB · AC = 4 + 10 = 14 ≠ 0 : non.
- Trouvez m pour que u(m ; 3) ⊥ v(6 ; −2).✔ Corrigé :
6m − 6 = 0, m = 1.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez la formule d'Al‑Kashi avec le produit scalaire, puis rédigez le compte rendu du géomètre (8 lignes) donnant la distance AB. Pour bien commencer : J'écris BC comme une différence de vecteurs… · En développant le carré scalaire, … · Appliquée au lac, la formule donne…
BC = AC − AB ; développement par bilinéarité ; cos  ; application numérique ≈ 472 m ; précision des mesures et arrondi.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul. Al‑Kashi : a² = b² + c² − 2bc cos Â. Si l'angle  est droit, on retrouve le théorème de Pythagore. La formule permet de calculer un côté ou un angle.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ, où θ est l'angle entre u et v.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Dans une base orthonormée, u(x ; y) · v(x' ; y') = xx' + yy'.
Formule d'Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc cos Â.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Calculez u · v pour u(3 ; −2) et v(4 ; 6), puis pour ‖u‖ = 4, ‖v‖ = 5 et un angle de π/3. Les vecteurs u(2 ; 5) et v(−5 ; 2) sont‑ils orthogonaux ? | 4 pts | 12 − 12 = 0 ; 4 × 5 × 1/2 = 10 ; −10 + 10 = 0 : orthogonaux. Un point, un point, deux points. |
| 2 | Dans un triangle ABC, AB = 5, AC = 8 et l'angle en A mesure π/3. Calculez BC avec la formule d'Al-Kashi, puis le cosinus de l'angle en B. | 8 pts | BC² = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × 1/2 = 49, BC = 7. cos B = (BA² + BC² − AC²)/(2 BA × BC) = (25 + 49 − 64)/70 = 1/7. Al‑Kashi (4 pts), angle (4 pts). |
| 3 | A(1 ; 1), B(5 ; 3), C(2 ; 7). Calculez AB · AC et déduisez‑en une valeur approchée de l'angle BAC ; le triangle est‑il rectangle ? Rédigez la démarche complète. Pour bien commencer : *Je calcule les coordonnées des vecteurs…* · *Le cosinus de l'angle vaut…* · *Pour savoir si le triangle est rectangle, …* | 8 pts | AB(4 ; 2), AC(1 ; 6) : AB · AC = 4 + 12 = 16 ; AB = √20, AC = √37 ; cos = 16/√740 ≈ 0,588, angle ≈ 54°. BA · BC : BA(−4 ; −2), BC(−3 ; 4), produit 12 − 8 = 4 ≠ 0 ; CA · CB : CA(−1 ; −6), CB(3 ; −4), −3 + 24 = 21 ≠ 0 : non rectangle. Produit et angle (4 pts), étude des trois angles (4 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes sans calculatrice : valeurs remarquables du cosinus, calcul de normes.
- Pour aller plus loin : démontrer avec le produit scalaire que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.