Version élève → Mathématiques · Lycée général · 1re · Première

Séquence 7 · Géométrie repérée : vecteur normal, projeté orthogonal, équation de cercle

Comment calculer la distance la plus courte d'un point à une route, ou décrire une zone circulaire par une équation ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

vecteur normal à une droiteéquation ax + by + c = 0 et vecteur normal (a ; b)projeté orthogonal, distance d'un point à une droiteéquation de cercle (x − a)² + (y − b)² = r²ensemble des points M tels que MA · MB = 0

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Vecteur normal
Vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite.
Équation et vecteur normal
La droite passant par A et de vecteur normal n(a ; b) a pour équation a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0.
Projeté orthogonal
Point H de la droite tel que AH soit normal à la droite ; AH est la distance de A à la droite.
Équation de cercle
(x − a)² + (y − b)² = r² pour le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r.
Reconnaître un cercle
On regroupe les termes en x et en y et on fait apparaître des carrés (forme canonique).
Cercle de diamètre AB
Ensemble des points M tels que MA · MB = 0.

Repères

DateÉvénement
VIe siècle av. J.‑C.La tradition attribue à Thalès le théorème de l'angle inscrit dans un demi‑cercle.
vers 200 av. J.‑C.Apollonius étudie cercles et coniques par des méthodes géométriques.
1637Descartes traduit les courbes en équations.
1748Euler systématise l'étude des courbes par leurs équations.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Vecteur normal et projeté orthogonal

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Où raccorder une maison à une route par le chemin le plus court ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Vecteur normal

Dans un repère orthonormé, un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à ses vecteurs directeurs. La droite d'équation ax + by + c = 0 a pour vecteur normal n(a ; b) et pour vecteur directeur (−b ; a). La droite passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M tels que AM · n = 0, soit a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0. Le projeté orthogonal H d'un point A sur une droite d est le point de d tel que AH soit normal à d ; c'est le point de d le plus proche de A (Pythagore) et AH est la distance de A à d. Pour le calculer, on écrit la perpendiculaire à d passant par A, puis on cherche l'intersection.

Document 1 · Le raccordement

Situation-problème.

Une maison est située en A(5 ; 6) et une route rectiligne a pour équation x + 2y − 7 = 0 (unité : km). On veut construire le chemin d'accès le plus court.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Analysez la situation.

  1. Un vecteur normal à la route ?
  2. Équation de la perpendiculaire à la route passant par A ?
  3. Coordonnées de H ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

  1. Équation de la droite passant par B(−1 ; 3) de vecteur normal (2 ; 5).
  2. Distance de A à la route.
  3. Les droites 2x + y = 1 et x − 2y = 3 sont‑elles perpendiculaires ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la note technique du chemin d'accès (8 lignes) : point de raccordement, longueur, justification du « plus court ». Pour bien commencer : Le chemin le plus court aboutit au projeté orthogonal… · Ses coordonnées sont… · Tout autre point de la route est plus loin car…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

0normalproche

Le vecteur (a ; b) est ______ à la droite ax + by + c = 0. Le projeté orthogonal est le point de la droite le plus ______. La droite passant par A de vecteur normal n est l'ensemble des M tels que AM · n = ______.

Séance 2 · Équations de cercles

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quelle zone couvre un émetteur ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Cercle et produit scalaire

Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r est l'ensemble des points M tels que ΩM = r, soit (x − a)² + (y − b)² = r². Pour reconnaître un cercle à partir de x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0, on fait apparaître des carrés : (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 3 = 0, soit (x − 3)² + (y + 2)² = 16 : centre (3 ; −2), rayon 4. Si le second membre est négatif, l'ensemble est vide ; s'il est nul, c'est un point. Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que MA · MB = 0. Un point est à l'intérieur du disque si (x − a)² + (y − b)² < r².

Document 1 · La zone de couverture

Situation-problème.

Un émetteur radio placé en Ω(2 ; −1) couvre un disque de rayon 5 km. Une ville est en V(6 ; 2), une autre en W(−3 ; 3). Un second émetteur couvre la zone d'équation x² + y² − 8x − 10y + 32 = 0.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Exploitez les équations.

  1. Équation du cercle limite du premier émetteur ?
  2. V et W sont‑ils couverts ?
  3. Centre et rayon de la zone du second émetteur ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

  1. Équation du cercle de centre (0 ; 3) passant par (4 ; 0).
  2. x² + y² + 2x + 5 = 0 est‑elle une équation de cercle ?
  3. Cercle de diamètre AB avec A(1 ; 1), B(5 ; 3) : centre et rayon.

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Démontrer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Démontrez que M appartient au cercle de diamètre AB si et seulement si MA · MB = 0, en introduisant le milieu I de AB. Rédigez en 8 lignes. Pour bien commencer : J'écris MA = MI + IA et MB = MI + IB… · Comme IB = −IA, le produit vaut… · Il est nul si et seulement si…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

0carrésinférieurer²

Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = ______. Pour reconnaître un cercle, on fait apparaître des ______. M est sur le cercle de diamètre AB si MA · MB = ______. Un point est dans le disque si sa distance au centre est __________ au rayon.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

0normalprocher²

Le vecteur de coordonnées (a ; b) est ______ à la droite d'équation ax + by + c = 0.

Le projeté orthogonal H de A sur une droite est le point de la droite le plus ______ de A.

Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = ______.

M appartient au cercle de diamètre AB si et seulement si MA · MB = ______.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :