Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Déterminer une équation de droite à partir d'un point et d'un vecteur normal
- Calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite et une distance
- Déterminer et reconnaître l'équation d'un cercle ; étudier une configuration
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Apollonius de Perge, *Les Coniques* (vers 200 av. J.‑C.)
- Descartes, *La Géométrie* (1637)
- Thalès et le cercle de diamètre donné (VIe siècle av. J.‑C., selon la tradition)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Déterminer une équation cartésienne d'une droite connaissant un point et un vecteur normal. »
Cercle : « Déterminer et utiliser l'équation d'un cercle donné par son centre et son rayon. »
Objectif : « enrichir la géométrie repérée de manière à pouvoir traiter des problèmes faisant intervenir l'orthogonalité. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Vecteur normal
- Vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite.
- Équation et vecteur normal
- La droite passant par A et de vecteur normal n(a ; b) a pour équation a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0.
- Projeté orthogonal
- Point H de la droite tel que AH soit normal à la droite ; AH est la distance de A à la droite.
- Équation de cercle
- (x − a)² + (y − b)² = r² pour le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r.
- Reconnaître un cercle
- On regroupe les termes en x et en y et on fait apparaître des carrés (forme canonique).
- Cercle de diamètre AB
- Ensemble des points M tels que MA · MB = 0.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| VIe siècle av. J.‑C. | La tradition attribue à Thalès le théorème de l'angle inscrit dans un demi‑cercle. |
| vers 200 av. J.‑C. | Apollonius étudie cercles et coniques par des méthodes géométriques. |
| 1637 | Descartes traduit les courbes en équations. |
| 1748 | Euler systématise l'étude des courbes par leurs équations. |
Les historiens en débat
La géométrie analytique de Fermat et Descartes permet de traiter par le calcul des questions d'orthogonalité et de distance que les Grecs résolvaient par des constructions. Le produit scalaire de première fournit l'outil : un vecteur normal suffit pour écrire l'équation d'une droite et calculer une distance. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Richard Courant et Herbert Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Vecteur normal et projeté orthogonal | 65 min | écrire une équation avec un vecteur normal et calculer une distance |
| Séance 2 | Équations de cercles | 65 min | écrire, reconnaître et utiliser l'équation d'un cercle |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Vecteur normal et projeté orthogonal
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Où raccorder une maison à une route par le chemin le plus court ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Vecteur normal
Dans un repère orthonormé, un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à ses vecteurs directeurs. La droite d'équation ax + by + c = 0 a pour vecteur normal n(a ; b) et pour vecteur directeur (−b ; a). La droite passant par A et de vecteur normal n est l'ensemble des points M tels que AM · n = 0, soit a(x − x_A) + b(y − y_A) = 0. Le projeté orthogonal H d'un point A sur une droite d est le point de d tel que AH soit normal à d ; c'est le point de d le plus proche de A (Pythagore) et AH est la distance de A à d. Pour le calculer, on écrit la perpendiculaire à d passant par A, puis on cherche l'intersection.
Document 1 · Le raccordement
Situation-problème.
Une maison est située en A(5 ; 6) et une route rectiligne a pour équation x + 2y − 7 = 0 (unité : km). On veut construire le chemin d'accès le plus court.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Analysez la situation.
- Un vecteur normal à la route ?✔ Corrigé :
n(1 ; 2).
- Équation de la perpendiculaire à la route passant par A ?✔ Corrigé :
Vecteur directeur (1 ; 2), donc normal (2 ; −1) : 2(x − 5) − (y − 6) = 0, soit 2x − y − 4 = 0.
- Coordonnées de H ?✔ Corrigé :
x + 2y = 7 et 2x − y = 4 : x = 3, y = 2.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Équation de la droite passant par B(−1 ; 3) de vecteur normal (2 ; 5).✔ Corrigé :
2x + 5y − 13 = 0.
- Distance de A à la route.✔ Corrigé :
AH = √20 ≈ 4,47 km.
- Les droites 2x + y = 1 et x − 2y = 3 sont‑elles perpendiculaires ?✔ Corrigé :
Normaux (2 ; 1) et (1 ; −2), produit scalaire 0 : oui.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la note technique du chemin d'accès (8 lignes) : point de raccordement, longueur, justification du « plus court ». Pour bien commencer : Le chemin le plus court aboutit au projeté orthogonal… · Ses coordonnées sont… · Tout autre point de la route est plus loin car…
H(3 ; 2) ; AH ≈ 4,47 km ; justification par Pythagore (AM² = AH² + HM²) ; clarté ; unités.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Le vecteur (a ; b) est normal à la droite ax + by + c = 0. Le projeté orthogonal est le point de la droite le plus proche. La droite passant par A de vecteur normal n est l'ensemble des M tels que AM · n = 0.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Équations de cercles
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle zone couvre un émetteur ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Cercle et produit scalaire
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r est l'ensemble des points M tels que ΩM = r, soit (x − a)² + (y − b)² = r². Pour reconnaître un cercle à partir de x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0, on fait apparaître des carrés : (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 3 = 0, soit (x − 3)² + (y + 2)² = 16 : centre (3 ; −2), rayon 4. Si le second membre est négatif, l'ensemble est vide ; s'il est nul, c'est un point. Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que MA · MB = 0. Un point est à l'intérieur du disque si (x − a)² + (y − b)² < r².
Document 1 · La zone de couverture
Situation-problème.
Un émetteur radio placé en Ω(2 ; −1) couvre un disque de rayon 5 km. Une ville est en V(6 ; 2), une autre en W(−3 ; 3). Un second émetteur couvre la zone d'équation x² + y² − 8x − 10y + 32 = 0.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Exploitez les équations.
- Équation du cercle limite du premier émetteur ?✔ Corrigé :
(x − 2)² + (y + 1)² = 25.
- V et W sont‑ils couverts ?✔ Corrigé :
V : 16 + 9 = 25, à la limite ; W : 25 + 16 = 41 > 25, non.
- Centre et rayon de la zone du second émetteur ?✔ Corrigé :
(x − 4)² + (y − 5)² = 9 : centre (4 ; 5), rayon 3.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Équation du cercle de centre (0 ; 3) passant par (4 ; 0).✔ Corrigé :
Rayon 5 : x² + (y − 3)² = 25.
- x² + y² + 2x + 5 = 0 est‑elle une équation de cercle ?✔ Corrigé :
(x + 1)² + y² = −4 : ensemble vide.
- Cercle de diamètre AB avec A(1 ; 1), B(5 ; 3) : centre et rayon.✔ Corrigé :
Centre (3 ; 2), rayon √5.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez que M appartient au cercle de diamètre AB si et seulement si MA · MB = 0, en introduisant le milieu I de AB. Rédigez en 8 lignes. Pour bien commencer : J'écris MA = MI + IA et MB = MI + IB… · Comme IB = −IA, le produit vaut… · Il est nul si et seulement si…
MA · MB = (MI + IA) · (MI − IA) = MI² − IA² ; nul ssi MI = IA = AB/2 ; donc M sur le cercle de centre I et de rayon AB/2 ; rédaction rigoureuse.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r². Pour reconnaître un cercle, on fait apparaître des carrés. M est sur le cercle de diamètre AB si MA · MB = 0. Un point est dans le disque si sa distance au centre est inférieure au rayon.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Le vecteur de coordonnées (a ; b) est normal à la droite d'équation ax + by + c = 0.
Le projeté orthogonal H de A sur une droite est le point de la droite le plus proche de A.
Le cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation (x − a)² + (y − b)² = r².
M appartient au cercle de diamètre AB si et seulement si MA · MB = 0.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Donnez un vecteur normal et un vecteur directeur de la droite 3x − 2y + 5 = 0, puis l'équation de la droite passant par A(1 ; 2) et de vecteur normal n(4 ; −1). | 4 pts | Normal (3 ; −2), directeur (2 ; 3) ; 4(x − 1) − (y − 2) = 0, soit 4x − y − 2 = 0. Deux points et deux points. |
| 2 | Reconnaissez l'ensemble d'équation x² + y² − 6x + 4y − 3 = 0 (centre, rayon). Le point P(6 ; 2) lui appartient‑il ? | 8 pts | (x − 3)² − 9 + (y + 2)² − 4 − 3 = 0, soit (x − 3)² + (y + 2)² = 16 : cercle de centre (3 ; −2), rayon 4. P : 9 + 16 = 25 ≠ 16 : non (il est à l'extérieur). Forme canonique (4 pts), conclusions (4 pts). |
| 3 | Une antenne est située en A(5 ; 6) ; une route rectiligne a pour équation x + 2y − 7 = 0 (unité : km). Déterminez le point H de la route le plus proche de l'antenne et la distance AH. Rédigez la démarche. Pour bien commencer : *Le point le plus proche est le projeté orthogonal…* · *Je cherche H sur la perpendiculaire…* · *La distance vaut donc…* | 8 pts | Vecteur normal n(1 ; 2) : la perpendiculaire passant par A est paramétrée par (5 + t ; 6 + 2t) ; dans l'équation : 5 + t + 12 + 4t − 7 = 0, t = −2, H(3 ; 2). AH = √(4 + 16) = √20 ≈ 4,47 km. Méthode (4 pts), calculs (3 pts), conclusion (1 pt). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes sans calculatrice : développer (x − a)², calculer une distance entre deux points.
- Pour aller plus loin : déterminer l'ensemble des points équidistants d'un point et de l'axe des abscisses (une parabole).