Version élève → Mathématiques · Lycée général · 1re · Première

Séquence 8 · Probabilités totales et indépendance : modèles et réalité

Comment calculer la probabilité d'un évènement qui peut se produire de plusieurs façons, et quand peut‑on supposer deux évènements indépendants ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

partition de l'universformule des probabilités totalesévènements indépendants : P(A ∩ B) = P(A) P(B)succession d'épreuves indépendantesépreuve de Bernoulli, méthode de Monte‑Carlo

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Partition
Évènements deux à deux incompatibles dont la réunion est l'univers.
Probabilités totales
Si A₁, …, Aₙ forment une partition, P(B) = P(A₁ ∩ B) + … + P(Aₙ ∩ B).
Indépendance
A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) P(B), ce qui équivaut à P_B(A) = P(A) quand P(B) ≠ 0.
Épreuves indépendantes
Pour une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités.
Épreuve de Bernoulli
Expérience à deux issues, succès de probabilité p et échec de probabilité 1 − p.
Monte‑Carlo
Estimation d'une probabilité ou d'une aire par la fréquence observée sur un grand nombre de tirages simulés.

Repères

DateÉvénement
1654Pascal et Fermat échangent sur le problème des partis.
1763Publication posthume de l'essai de Bayes sur la probabilité des causes.
1812Laplace, Théorie analytique des probabilités.
1946‑1949Ulam, von Neumann et Metropolis développent la méthode de Monte‑Carlo.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Arbres et probabilités totales

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quelle proportion de pièces défectueuses sort de l'usine ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Formule des probabilités totales

Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités issues d'un même noeud vaut 1, les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles, et la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Si A₁, A₂, …, Aₙ forment une partition de l'univers (évènements incompatibles qui recouvrent tout), alors P(B) = P(A₁ ∩ B) + … + P(Aₙ ∩ B) : on additionne les chemins qui mènent à B. Ensuite, P_B(A₁) = P(A₁ ∩ B)/P(B) permet de « remonter » l'arbre, sans confondre P_A(B) et P_B(A).

Document 1 · Le contrôle qualité

Situation-problème.

Une entreprise assemble des trottinettes avec des freins venant de deux fournisseurs : 70 % du fournisseur F₁, dont 3 % défectueux, et 30 % du fournisseur F₂, dont 8 % défectueux.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Construisez l'arbre.

  1. Probabilités des branches du premier niveau, puis du second ?
  2. P(F₁ ∩ D) et P(F₂ ∩ D) ?
  3. P(D) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Exploitez l'arbre.

  1. Probabilité qu'un frein défectueux vienne de F₂ ?
  2. Pourquoi est‑ce plus que 30 % ?
  3. Probabilité qu'un frein soit bon ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au responsable des achats (8 lignes) : faut‑il changer de fournisseur F₂ ? Justifiez avec les probabilités calculées. Pour bien commencer : Le taux global de défauts est… · Parmi les freins défectueux, … · Je recommande…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

additionneP_B(A)produit

La probabilité d'un chemin est le _______ des probabilités des branches. Pour une partition, on __________ les probabilités des chemins qui mènent à B. Il ne faut pas confondre P_A(B) et ______.

Séance 2 · Indépendance et épreuves répétées

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Répondre au hasard à un QCM : quelles chances ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Indépendance

Deux évènements A et B (de probabilités non nulles) sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), ce qui équivaut à P_B(A) = P(A) : savoir que B est réalisé ne change pas la probabilité de A. Attention : indépendants ne veut pas dire incompatibles. L'indépendance est une hypothèse du modèle : pour deux lancers successifs d'un dé, on la justifie par l'absence d'influence d'un lancer sur l'autre. Pour une succession d'épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités le long d'un chemin. La répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes se représente par un arbre à 2ⁿ chemins (ici n ≤ 4).

Document 1 · Le QCM

Situation-problème.

Un QCM d'entraînement comporte 4 questions, chacune avec 4 propositions dont une seule est juste. On étudie le cas d'un candidat qui répondrait entièrement au hasard.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Modélisez.

  1. Pourquoi peut‑on supposer les réponses indépendantes ?
  2. Probabilité de tout réussir ?
  3. Probabilité de tout rater ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

  1. Au moins une bonne réponse ?
  2. Exactement une bonne réponse ?
  3. A et B incompatibles de probabilités non nulles peuvent‑ils être indépendants ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Programmer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Écrivez une fonction Python qui simule le QCM répondu au hasard et renvoie le nombre de bonnes réponses, puis répétez‑la 10 000 fois pour estimer la probabilité d'au moins deux bonnes réponses. Comparez avec le calcul (67/256 ≈ 0,26). Pour bien commencer : La fonction tire pour chaque question… · Sur 10 000 simulations, la fréquence… · Elle est proche du calcul car…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

incompatiblesmodèlemultiplieP(A) × P(B)

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = ___________. Indépendants ne signifie pas _____________. Pour des épreuves indépendantes, on _________ les probabilités le long d'un chemin. L'indépendance est une hypothèse du ______.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

modèleP(A) × P(B)P(A₂ ∩ B)produit

Si A₁, A₂ forment une partition de l'univers, P(B) = P(A₁ ∩ B) + _________.

Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le _______ des probabilités de ses branches.

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = ___________.

L'indépendance est une hypothèse du ______, à justifier par l'analyse de la situation.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :