Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Calculer une proportion de proportion (pourcentage de pourcentage)
- Passer d'un taux d'évolution au coefficient multiplicateur et inversement
- Calculer un taux d'évolution global et un taux d'évolution réciproque, et repérer les erreurs fréquentes
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Fibonacci, *Liber abaci* (1202) : problèmes de commerce
- Luca Pacioli, *Summa de arithmetica* (1494)
- Insee : indice des prix à la consommation, publié chaque mois
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme : « Les élèves doivent distinguer si un pourcentage exprime une proportion ou une évolution. »
Capacités attendues : « Traiter des situations simples mettant en jeu des pourcentages de pourcentages. » « Calculer le taux d'évolution global à partir des taux d'évolution successifs. Calculer un taux d'évolution réciproque. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Proportion
- Rapport entre l'effectif d'une sous-population et l'effectif de la population de référence (nombre entre 0 et 1).
- Pourcentage de pourcentage
- Si A représente p % de B et B représente q % de C, alors A représente p % × q % de C.
- Variation absolue
- Différence V₂ − V₁ entre la valeur d'arrivée et la valeur de départ.
- Taux d'évolution
- Variation relative (V₂ − V₁)/V₁, souvent exprimée en pourcentage.
- Coefficient multiplicateur
- Nombre CM = V₂/V₁ ; une hausse de t % correspond à CM = 1 + t/100, une baisse de t % à CM = 1 − t/100.
- Évolution réciproque
- Évolution qui ramène à la valeur de départ ; son coefficient est 1/CM.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1202 | Fibonacci, Liber abaci : arithmétique au service du commerce. |
| 1494 | Luca Pacioli, Summa de arithmetica : calculs marchands et comptabilité en partie double. |
| 1795 | Loi instaurant le système métrique décimal en France. |
| 1946 | Création de l'Insee, qui publie les grands indicateurs (prix, emploi). |
Les historiens en débat
Les calculs de proportions et d'évolutions sont nés dans le commerce : les traités d'abaque italiens enseignent la règle de trois, les intérêts et les changes. Aujourd'hui, l'information chiffrée est un enjeu citoyen : confondre proportion et évolution, ou additionner des pourcentages successifs, conduit à des conclusions fausses, ce que le programme demande d'apprendre à repérer. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
- Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
- Outil · calculatrice graphique GeoGebra pour représenter des évolutions.
Sources et bibliographie
- Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil, 1992.
- Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009 (esprit critique et chiffres).
- Insee, Tableaux de l'économie française (données en ligne).
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Proportions et pourcentages de pourcentages | 65 min | calculer une proportion dans une population et une proportion de proportion |
| Séance 2 | Évolutions successives et réciproques | 65 min | utiliser le coefficient multiplicateur pour enchaîner ou annuler des évolutions |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Proportions et pourcentages de pourcentages
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle part d'une population représente un sous-groupe d'un sous-groupe ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Proportions emboîtées
Une proportion est le quotient de l'effectif d'une partie par l'effectif total : p = n/N. On l'écrit en décimal, en fraction ou en pourcentage. Quand les ensembles sont emboîtés (A inclus dans B, B inclus dans C), la proportion de A dans C est le produit des proportions : p(A dans C) = p(A dans B) × p(B dans C). Exemple : si 40 % des élèves sont internes et 25 % des internes rentrent le mercredi, alors 0,40 × 0,25 = 0,10, soit 10 % des élèves. Attention : on ne peut pas additionner ou comparer des pourcentages qui n'ont pas la même population de référence.
Document 1 · L'internat d'un lycée
Situation-problème.
Un lycée accueille 800 élèves. 40 % d'entre eux sont internes. Parmi les internes, 25 % rentrent chez eux le mercredi après-midi. Le proviseur affirme : « Cela fait 65 % des élèves qui rentrent le mercredi. »
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez sans calculatrice puis vérifiez.
- Combien d'élèves sont internes ?✔ Corrigé :
0,40 × 800 = 320 internes.
- Combien d'internes rentrent le mercredi ?✔ Corrigé :
0,25 × 320 = 80 élèves.
- Quelle proportion de l'ensemble des élèves cela représente-t-il ?✔ Corrigé :
80/800 = 0,10, soit 10 % ; ou directement 0,40 × 0,25 = 0,10.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez les trois exercices.
- Dans une classe, 60 % des élèves ont un vélo et 30 % de ceux-là viennent au lycée à vélo. Proportion de la classe venant à vélo ?✔ Corrigé :
0,60 × 0,30 = 0,18, soit 18 %.
- Une sous-population représente 18 % d'une population et 45 % d'un groupe B de cette population. Quelle proportion de la population est dans B ?✔ Corrigé :
p × 0,45 = 0,18 donc p = 0,18/0,45 = 0,40, soit 40 %.
- Pourquoi l'affirmation du proviseur est-elle fausse ?✔ Corrigé :
Il additionne 40 % et 25 % qui n'ont pas la même référence (25 % des internes, pas des élèves) ; la bonne proportion est 10 %.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une réponse argumentée (8 à 10 lignes) au proviseur, avec les calculs, comme dans une copie d'examen. Pour bien commencer : D'après les données, la proportion est… · Le calcul montre que… · Je conclus donc que…
Rappel des données ; calcul de la proportion de proportion ; explication de l'erreur (référence) ; phrase de conclusion ; vocabulaire précis (proportion, effectif, population de référence). La maîtrise de la langue compte aussi à l'épreuve anticipée.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement rédigé | 5 |
| Qualité de la langue | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une proportion de proportion se calcule en multipliant les proportions. On ne peut pas additionner des pourcentages qui n'ont pas la même population de référence.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Évolutions successives et réciproques
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ramène-t-elle au prix de départ ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Problème) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Le coefficient multiplicateur
Entre une valeur de départ V₁ et une valeur d'arrivée V₂, on distingue la variation absolue V₂ − V₁, la variation relative ou taux d'évolution t = (V₂ − V₁)/V₁ et le coefficient multiplicateur CM = V₂/V₁ = 1 + t. Une hausse de 15 % correspond à CM = 1,15 ; une baisse de 8 % à CM = 0,92. Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients : +20 % puis −20 % donne 1,2 × 0,8 = 0,96, soit une baisse globale de 4 %. Pour l'évolution réciproque, qui ramène à la valeur initiale, on prend l'inverse du coefficient : après une hausse de 25 % (CM = 1,25), il faut multiplier par 1/1,25 = 0,8, soit baisser de 20 %.
Document 1 · Les soldes
Situation-problème.
Un blouson coûte 50 €. Le magasin augmente son prix de 20 % en septembre, puis annonce en janvier : « −20 % sur tout le magasin ! » Un client pense payer 50 €. Par ailleurs, un abonnement passe de 40 € à 46 € par mois.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Prix du blouson en septembre, puis en janvier ?✔ Corrigé :
50 × 1,2 = 60 € ; 60 × 0,8 = 48 €.
- Taux d'évolution global ?✔ Corrigé :
1,2 × 0,8 = 0,96 : baisse de 4 %.
- Pour l'abonnement : variation absolue, coefficient, taux ?✔ Corrigé :
46 − 40 = 6 € ; CM = 46/40 = 1,15 ; taux = +15 %.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs justes | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez sans calculatrice.
- Deux hausses successives de 10 % : taux global ?✔ Corrigé :
1,1 × 1,1 = 1,21 : +21 %.
- Après une baisse de 50 %, quelle hausse pour revenir au départ ?✔ Corrigé :
1/0,5 = 2 : il faut une hausse de 100 %.
- Une action perd 10 % puis gagne 10 %. Gagne-t-on ou perd-on ?✔ Corrigé :
0,9 × 1,1 = 0,99 : on perd 1 %.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Problème
15 minSupports : Documents et cours
Un prix augmente de 5 % chaque année pendant 3 ans. Un journaliste écrit : « Le prix a augmenté de 15 %. » Vérifiez avec la calculatrice et corrigez en 6 à 8 lignes. Pour bien commencer : Une hausse de 5 % correspond à un coefficient de… · Sur 3 ans, le coefficient global est… · Le journaliste aurait dû écrire…
1,05³ = 1,157625 : hausse globale d'environ 15,8 %, et non 15 % ; on multiplie les coefficients, on n'additionne pas les taux ; conclusion rédigée.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résolution | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Augmenter de t % revient à multiplier par 1 + t/100. Pour des évolutions successives, on fait le produit des coefficients multiplicateurs. Le coefficient de l'évolution réciproque est l'inverse du coefficient initial.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Problème | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une proportion de proportion se calcule en multipliant les proportions.
Augmenter de t % revient à multiplier par le coefficient 1 + t/100.
Des évolutions successives se traduisent par le produit des coefficients multiplicateurs.
Le coefficient de l'évolution réciproque est l'inverse du coefficient de départ.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Dans une entreprise, 35 % des salariés travaillent à temps partiel et 60 % d'entre eux sont des femmes. Quelle proportion des salariés sont des femmes à temps partiel ? | 4 pts | 0,35 × 0,60 = 0,21, soit 21 % des salariés. Rédaction : proportion de proportion, on multiplie. |
| 2 | Un loyer augmente de 10 % une année, puis encore de 10 % l'année suivante. Un autre prix baisse de 30 % puis augmente de 30 %. Calculez le taux d'évolution global dans chaque cas. | 8 pts | Cas 1 : 1,10 × 1,10 = 1,21, hausse globale de 21 % (et non 20 %). Cas 2 : 0,70 × 1,30 = 0,91, baisse globale de 9 % (on ne revient pas au prix de départ). Coefficients, produit, conclusion rédigée. |
| 3 | Un article a baissé de 20 %. De quel pourcentage doit-il augmenter pour retrouver son prix initial ? Expliquez en deux phrases pourquoi la réponse n'est pas 20 %. Pour bien commencer : *Le coefficient de la baisse est…* · *Pour revenir au prix initial, …* | 8 pts | Coefficient de la baisse : 0,8 ; coefficient réciproque : 1/0,8 = 1,25, soit une hausse de 25 %. La hausse s'applique à un prix plus petit (la base a changé), il faut donc un pourcentage plus grand. Calcul exact et explication claire. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes du jour (questions flash) : passer de 3 % à 0,03, de 1,15 à +15 %, de 0,92 à −8 %.
- Pour aller plus loin : chercher dans la presse un titre qui confond proportion et évolution, et le corriger.