Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Construire et lire un tableau croisé d'effectifs, calculer des fréquences conditionnelles et marginales
- Construire un arbre pondéré et calculer la probabilité d'une intersection
- Distinguer P_A(B) et P_B(A) (faux positifs, sensibilité, spécificité)
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Fréquence marginale
- Fréquence d'un caractère sur toute la population (total d'une ligne ou d'une colonne divisé par l'effectif total).
- Fréquence conditionnelle
- Fréquence d'un caractère à l'intérieur d'une sous-population.
- Probabilité conditionnelle
- P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A), probabilité de B sachant que A est réalisé (P(A) non nulle).
- Arbre pondéré
- Schéma où chaque branche porte une probabilité ; on multiplie le long d'un chemin.
- Sensibilité
- Probabilité qu'un test soit positif sachant que la personne est malade.
- Spécificité
- Probabilité qu'un test soit négatif sachant que la personne n'est pas malade.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1654 | Lettres de Pascal et Fermat sur le partage des mises (problème des partis). |
| 1657 | Huygens publie le premier traité de calcul des chances. |
| 1763 | Publication posthume de l'essai de Thomas Bayes. |
| 1812 | Laplace, Théorie analytique des probabilités. |
Pour aller plus loin
- Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
- Outil · Basthon, Python dans le navigateur pour simuler des tirages.
Sources et bibliographie
- Gerd Gigerenzer, Penser le risque (2002), trad. fr. 2009.
- Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
- Albert Jacquard, Les Probabilités, PUF, coll. Que sais-je ?, 1974.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Tableau croisé et fréquences conditionnelles : le test de dépistage
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Parmi les personnes positives, quelle part est réellement malade ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Lire un tableau croisé
Un tableau croisé d'effectifs répartit une population selon deux caractères (malade ou non ; test positif ou négatif). La fréquence marginale se lit dans les totaux. La fréquence conditionnelle se calcule à l'intérieur d'une ligne ou d'une colonne : la part des positifs parmi les malades n'est pas la part des malades parmi les positifs. Vocabulaire : un faux positif est un non-malade testé positif, un faux négatif un malade testé négatif ; la sensibilité est la part des positifs parmi les malades, la spécificité la part des négatifs parmi les non-malades. Quand la maladie est rare, beaucoup de positifs sont des faux positifs.
Document 1 · Un dépistage dans une population de 1 000 personnes
Situation-problème (tableau à compléter).
Une maladie touche 2 % d'une population de 1 000 personnes. Le test de dépistage a une sensibilité de 95 % (95 % des malades sont positifs) et une spécificité de 90 % (90 % des non-malades sont négatifs). Tableau à compléter : lignes « malades », « non malades », « total » ; colonnes « test positif », « test négatif », « total ».
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Complétez le tableau croisé.
- Nombre de malades et de non-malades ?
- Malades positifs et négatifs ?
- Non-malades négatifs et positifs ? Total des positifs ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Tableau complet et juste
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Document 1, cours
Calculez et interprétez.
- Fréquence des positifs parmi les malades ?
- Fréquence des malades parmi les positifs ?
- Pourquoi ces deux nombres sont-ils si différents ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Calculs et interprétation
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Un ami reçoit un test positif et pense être malade « à 95 % ». Écrivez-lui un message (8 à 10 lignes) qui explique son erreur, chiffres à l'appui. Pour bien commencer : Un test positif ne signifie pas… · Sur 10 000 personnes, … · Parmi les personnes testées positives, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Qualité de la langue
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La fréquence des positifs parmi les malades (la ___________) n'est pas la fréquence des malades parmi les ________. Un non-malade testé positif est un ____________. Quand une maladie est rare, beaucoup de positifs sont des faux positifs.
Séance 2 · Arbres pondérés et probabilités conditionnelles
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment passer du tableau à l'arbre, et de l'arbre au calcul ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Probabilité conditionnelle et arbre
En choisissant une personne au hasard (équiprobabilité), les fréquences deviennent des probabilités. Si P(A) n'est pas nulle, la probabilité de B sachant A est P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A). Sur un arbre pondéré, les branches du premier niveau portent P(A) et P(Ā), celles du second niveau des probabilités conditionnelles ; la somme des branches issues d'un même noeud vaut 1. La probabilité d'un chemin (une intersection) est le produit des probabilités rencontrées : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Pour inverser le conditionnement en seconde, on revient au tableau d'effectifs. Loi des grands nombres (version vulgarisée du programme) : lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.
Document 1 · Le dépistage en arbre
Situation-problème.
On choisit au hasard une personne de la population du document de la séance 1. On note M l'évènement « la personne est malade » et T l'évènement « le test est positif ». On sait que P(M) = 0,02, P_M(T) = 0,95 et que la probabilité d'un test positif pour une personne non malade est 0,10.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Modéliser
12 minSupports : Document 1
Construisez l'arbre et calculez.
- Probabilités des branches ?
- P(M ∩ T) ?
- P(M̄ ∩ T) ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Arbre et produits
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Document 1, séance 1
Comparez avec le tableau de la séance 1.
- Retrouvez 19 et 98 à partir des probabilités.
- Que vaut P_T(M), d'après le tableau ?
- Écrivez en langage symbolique : « 95 % des malades sont positifs » et « 16 % des positifs sont malades ».
Ce qui est attendu (7 pts) : Changements de registre
Activité 3 · Programmer
15 minSupports : Cours
Dans Basthon, complétez une fonction Python qui simule le choix d'une personne (malade avec probabilité 0,02, puis test positif selon son état) et répétez 10 000 fois : quelle proportion de malades parmi les positifs obtenez-vous ? Pour bien commencer : Ma fonction tire d'abord… · Après 10 000 répétitions, j'obtiens… · Ce résultat est proche de… car…
Ce qui est attendu (7 pts) : Programme · Interprétation
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le _______ des probabilités des branches. Les branches issues d'un même noeud ont une somme égale à ______. P_M(T) se lit « probabilité de T _______ M ».
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Dans un tableau croisé, une fréquence ______________ se calcule en divisant par l'effectif de la ligne ou de la colonne choisie.
Sur un arbre, la probabilité d'une intersection est le _______ des probabilités des branches du chemin.
P_M(T) et P_T(M) ne sont pas ______ : il ne faut pas ________ les conditions.
Ce que j'ai appris
- Construire et lire un tableau croisé d'effectifs, calculer des fréquences conditionnelles et marginales
- Construire un arbre pondéré et calculer la probabilité d'une intersection
- Distinguer P_A(B) et P_B(A) (faux positifs, sensibilité, spécificité)