Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Construire et lire un tableau croisé d'effectifs, calculer des fréquences conditionnelles et marginales
- Construire un arbre pondéré et calculer la probabilité d'une intersection
- Distinguer P_A(B) et P_B(A) (faux positifs, sensibilité, spécificité)
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Correspondance de Pascal et Fermat (1654) sur le problème des partis
- Christiaan Huygens, *De ratiociniis in ludo aleae* (1657)
- Thomas Bayes, essai publié en 1763
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme : « Ce travail permet notamment de donner du sens au vocabulaire des tests diagnostiques : faux positifs, faux négatifs, spécificité et sensibilité d'un test. »
Capacité attendue : « Calculer des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales. » Le programme précise : « Le calcul de la probabilité d'un évènement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à une partition de l'univers n'est pas un attendu du programme. » On passe donc par le tableau d'effectifs pour inverser le conditionnement.
Histoire des mathématiques : « Un exemple est le problème des partis, dit aussi du chevalier de Méré, l'échange de lettres entre Pascal et Fermat sur ce point puis les travaux de Pascal, Fermat et Huygens qui en découlent. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Notions : définitions rigoureuses
- Fréquence marginale
- Fréquence d'un caractère sur toute la population (total d'une ligne ou d'une colonne divisé par l'effectif total).
- Fréquence conditionnelle
- Fréquence d'un caractère à l'intérieur d'une sous-population.
- Probabilité conditionnelle
- P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A), probabilité de B sachant que A est réalisé (P(A) non nulle).
- Arbre pondéré
- Schéma où chaque branche porte une probabilité ; on multiplie le long d'un chemin.
- Sensibilité
- Probabilité qu'un test soit positif sachant que la personne est malade.
- Spécificité
- Probabilité qu'un test soit négatif sachant que la personne n'est pas malade.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1654 | Lettres de Pascal et Fermat sur le partage des mises (problème des partis). |
| 1657 | Huygens publie le premier traité de calcul des chances. |
| 1763 | Publication posthume de l'essai de Thomas Bayes. |
| 1812 | Laplace, Théorie analytique des probabilités. |
Les historiens en débat
Le calcul des probabilités naît au XVIIe siècle de questions de jeux (partage équitable d'une partie interrompue). La notion de probabilité conditionnelle, présente chez Bayes et Moivre, est élaborée par Laplace. Elle est aujourd'hui au coeur de la médecine (dépistage), de la justice et de l'intelligence artificielle ; l'erreur d'inversion des conditions est l'un des pièges les plus fréquents du raisonnement. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
- Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
- Outil · Basthon, Python dans le navigateur pour simuler des tirages.
Sources et bibliographie
- Gerd Gigerenzer, Penser le risque (2002), trad. fr. 2009.
- Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
- Albert Jacquard, Les Probabilités, PUF, coll. Que sais-je ?, 1974.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Tableau croisé et fréquences conditionnelles : le test de dépistage | 65 min | calculer et interpréter des fréquences conditionnelles |
| Séance 2 | Arbres pondérés et probabilités conditionnelles | 65 min | modéliser par un arbre et calculer des probabilités d'intersection |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Tableau croisé et fréquences conditionnelles : le test de dépistage
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Parmi les personnes positives, quelle part est réellement malade ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Lire un tableau croisé
Un tableau croisé d'effectifs répartit une population selon deux caractères (malade ou non ; test positif ou négatif). La fréquence marginale se lit dans les totaux. La fréquence conditionnelle se calcule à l'intérieur d'une ligne ou d'une colonne : la part des positifs parmi les malades n'est pas la part des malades parmi les positifs. Vocabulaire : un faux positif est un non-malade testé positif, un faux négatif un malade testé négatif ; la sensibilité est la part des positifs parmi les malades, la spécificité la part des négatifs parmi les non-malades. Quand la maladie est rare, beaucoup de positifs sont des faux positifs.
Document 1 · Un dépistage dans une population de 1 000 personnes
Situation-problème (tableau à compléter).
Une maladie touche 2 % d'une population de 1 000 personnes. Le test de dépistage a une sensibilité de 95 % (95 % des malades sont positifs) et une spécificité de 90 % (90 % des non-malades sont négatifs). Tableau à compléter : lignes « malades », « non malades », « total » ; colonnes « test positif », « test négatif », « total ».
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Complétez le tableau croisé.
- Nombre de malades et de non-malades ?✔ Corrigé :
0,02 × 1 000 = 20 malades ; 980 non-malades.
- Malades positifs et négatifs ?✔ Corrigé :
0,95 × 20 = 19 positifs ; 1 négatif (faux négatif).
- Non-malades négatifs et positifs ? Total des positifs ?✔ Corrigé :
0,90 × 980 = 882 négatifs ; 98 positifs (faux positifs) ; 19 + 98 = 117 positifs.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Tableau complet et juste | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Document 1, cours
Calculez et interprétez.
- Fréquence des positifs parmi les malades ?✔ Corrigé :
19/20 = 0,95 : c'est la sensibilité.
- Fréquence des malades parmi les positifs ?✔ Corrigé :
19/117 ≈ 0,16 : seulement 16 % des positifs sont malades.
- Pourquoi ces deux nombres sont-ils si différents ?✔ Corrigé :
Les références diffèrent (20 malades contre 117 positifs) ; la maladie est rare, donc les 98 faux positifs sont bien plus nombreux que les 19 vrais positifs.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Calculs et interprétation | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Un ami reçoit un test positif et pense être malade « à 95 % ». Écrivez-lui un message (8 à 10 lignes) qui explique son erreur, chiffres à l'appui. Pour bien commencer : Un test positif ne signifie pas… · Sur 10 000 personnes, … · Parmi les personnes testées positives, …
Distinction des deux fréquences conditionnelles ; chiffres du tableau ; rôle de la rareté de la maladie ; conseil : test de confirmation ; ton bienveillant et vocabulaire juste.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Qualité de la langue | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La fréquence des positifs parmi les malades (la sensibilité) n'est pas la fréquence des malades parmi les positifs. Un non-malade testé positif est un faux positif. Quand une maladie est rare, beaucoup de positifs sont des faux positifs.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Raisonner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Arbres pondérés et probabilités conditionnelles
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment passer du tableau à l'arbre, et de l'arbre au calcul ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Modéliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Programmer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Probabilité conditionnelle et arbre
En choisissant une personne au hasard (équiprobabilité), les fréquences deviennent des probabilités. Si P(A) n'est pas nulle, la probabilité de B sachant A est P_A(B) = P(A ∩ B)/P(A). Sur un arbre pondéré, les branches du premier niveau portent P(A) et P(Ā), celles du second niveau des probabilités conditionnelles ; la somme des branches issues d'un même noeud vaut 1. La probabilité d'un chemin (une intersection) est le produit des probabilités rencontrées : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). Pour inverser le conditionnement en seconde, on revient au tableau d'effectifs. Loi des grands nombres (version vulgarisée du programme) : lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.
Document 1 · Le dépistage en arbre
Situation-problème.
On choisit au hasard une personne de la population du document de la séance 1. On note M l'évènement « la personne est malade » et T l'évènement « le test est positif ». On sait que P(M) = 0,02, P_M(T) = 0,95 et que la probabilité d'un test positif pour une personne non malade est 0,10.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Modéliser
12 minSupports : Document 1
Construisez l'arbre et calculez.
- Probabilités des branches ?✔ Corrigé :
M : 0,02 puis T : 0,95 et T̄ : 0,05 ; M̄ : 0,98 puis T : 0,10 et T̄ : 0,90.
- P(M ∩ T) ?✔ Corrigé :
0,02 × 0,95 = 0,019.
- P(M̄ ∩ T) ?✔ Corrigé :
0,98 × 0,10 = 0,098.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Arbre et produits | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Document 1, séance 1
Comparez avec le tableau de la séance 1.
- Retrouvez 19 et 98 à partir des probabilités.✔ Corrigé :
0,019 × 1 000 = 19 ; 0,098 × 1 000 = 98.
- Que vaut P_T(M), d'après le tableau ?✔ Corrigé :
19/117 ≈ 0,16.
- Écrivez en langage symbolique : « 95 % des malades sont positifs » et « 16 % des positifs sont malades ».✔ Corrigé :
P_M(T) = 0,95 ; P_T(M) ≈ 0,16.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Changements de registre | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Programmer
15 minSupports : Cours
Dans Basthon, complétez une fonction Python qui simule le choix d'une personne (malade avec probabilité 0,02, puis test positif selon son état) et répétez 10 000 fois : quelle proportion de malades parmi les positifs obtenez-vous ? Pour bien commencer : Ma fonction tire d'abord… · Après 10 000 répétitions, j'obtiens… · Ce résultat est proche de… car…
Fonction avec random() < 0.02, puis random() < 0.95 ou < 0.10 ; compteurs des positifs et des malades positifs ; résultat proche de 0,16 (loi des grands nombres) ; commentaire de la fluctuation.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Programme | 5 |
| Interprétation | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches. Les branches issues d'un même noeud ont une somme égale à 1. P_M(T) se lit « probabilité de T sachant M ».
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Modéliser | 6 |
| Activité 2 · Raisonner | 7 |
| Activité 3 · Programmer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Dans un tableau croisé, une fréquence conditionnelle se calcule en divisant par l'effectif de la ligne ou de la colonne choisie.
Sur un arbre, la probabilité d'une intersection est le produit des probabilités des branches du chemin.
P_M(T) et P_T(M) ne sont pas égales : il ne faut pas inverser les conditions.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Définissez « faux positif » et « sensibilité d'un test ». | 4 pts | Faux positif : personne non malade dont le test est positif. Sensibilité : probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade (P_M(T)). |
| 2 | Une usine produit 200 pièces : 120 sur la machine A, 80 sur la machine B. 6 pièces de A et 8 pièces de B sont défectueuses. Construisez le tableau croisé, puis calculez la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse, la probabilité qu'elle soit défectueuse sachant qu'elle vient de A, et la probabilité qu'elle vienne de A sachant qu'elle est défectueuse. | 8 pts | Tableau : A (6 défectueuses, 114 bonnes), B (8, 72), total 14 défectueuses et 186 bonnes. P(D) = 14/200 = 0,07 ; P_A(D) = 6/120 = 0,05 ; P_D(A) = 6/14 ≈ 0,43. Tableau juste, calculs et phrases de réponse. |
| 3 | Sur une ligne de bus, il pleut 30 % des jours. Les jours de pluie, le bus est en retard avec une probabilité de 0,4 ; les autres jours, de 0,1. Construisez l'arbre pondéré et calculez la probabilité qu'il pleuve et que le bus soit en retard. Puis, pour 1 000 jours, complétez un tableau croisé d'effectifs et calculez la probabilité qu'il ait plu sachant que le bus est en retard. | 8 pts | Arbre : 0,3 puis 0,4 et 0,6 ; 0,7 puis 0,1 et 0,9. P(pluie ∩ retard) = 0,3 × 0,4 = 0,12. Tableau sur 1 000 jours : pluie 300 dont 120 retards ; sans pluie 700 dont 70 retards ; 190 retards. P_retard(pluie) = 120/190 ≈ 0,63. Arbre, produit des branches, tableau, interprétation. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : lire une fréquence dans un tableau, passer de 0,05 à 5 %, multiplier deux décimaux simples.
- Pour aller plus loin : simuler en Python 10 000 tirages d'individus pour retrouver la proportion de malades parmi les positifs.