Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Reconnaître les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ et savoir qu'il existe des nombres irrationnels
- Représenter et noter des intervalles, traduire une tolérance par |x − a| ≤ r
- Encadrer un réel par des décimaux et arrondir avec un nombre de chiffres significatifs adapté
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Nombre rationnel
- Nombre qui peut s'écrire p/q avec p entier relatif et q entier non nul ; ensemble ℚ.
- Nombre irrationnel
- Réel qui n'est pas rationnel, comme √2 ou π.
- Intervalle
- Ensemble des réels compris entre deux bornes, incluses ou exclues : [a ; b], ]a ; b[, [a ; +∞[…
- Valeur absolue
- |a| est la distance de a à 0 ; |x − a| est la distance entre x et a.
- Encadrement
- Deux décimaux d et d' tels que d ≤ x ≤ d' ; d' − d est l'amplitude.
- Chiffres significatifs
- Chiffres d'un nombre à partir du premier chiffre non nul, qui traduisent sa précision.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| Ve siècle av. J.‑C. | Les pythagoriciens découvrent qu'on ne peut pas exprimer la diagonale du carré comme rapport d'entiers à son côté. |
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide traite des grandeurs incommensurables au livre X des Éléments. |
| 1585 | Simon Stevin publie La Disme et popularise les fractions décimales. |
| 1872 | Dedekind et Cantor proposent des constructions rigoureuses des nombres réels. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Benoît Rittaud, Le Fabuleux Destin de √2, Le Pommier, 2006.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Ensembles de nombres et nombres irrationnels
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
La calculatrice donne‑t‑elle la valeur exacte de √2 ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Des entiers aux réels
On emboîte les ensembles : ℕ (entiers naturels) ⊂ ℤ (entiers relatifs) ⊂ 𝔻 (décimaux, de la forme a/10ⁿ) ⊂ ℚ (rationnels, de la forme p/q) ⊂ ℝ (réels, abscisses des points d'une droite graduée). Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel : √2, √3, π. 1/3 est rationnel mais non décimal : 3 × 1/3 = 1, alors qu'un décimal multiplié par 3 ne peut pas donner exactement 1 avec une écriture finie de 0,333… La calculatrice ne manipule que des valeurs approchées : 1,414213562² = 1,99999999979…, pas 2. Raisonnement par l'absurde : pour démontrer une propriété, on suppose son contraire et on aboutit à une contradiction.
Document 1 · Le carré de surface 2
Situation-problème.
Un artisan veut découper un carré de 2 m² dans une plaque. La calculatrice indique que le côté mesure 1,414213562 m. Un élève affirme : « C'est la valeur exacte, puisque la calculatrice l'affiche. »
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Vérifiez à la main et à la calculatrice.
- Calculez 1,4² et 1,5². Que peut‑on dire de √2 ?
- Calculez 1,414213562² en posant ou avec un logiciel de calcul exact. Est‑ce exactement 2 ?
- Rangez dans le plus petit ensemble : 3 ; −2 ; 0,25 ; 2/3 ; π.
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Cours
Préparez la démonstration de l'irrationalité de √2.
- Montrez que le carré d'un nombre impair 2k + 1 est impair.
- En déduire : si p² est pair, alors p est pair.
- Si p = 2k et p² = 2q², que dire de q ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez en 8 à 10 lignes la démonstration complète : √2 n'est pas rationnel. Pour bien commencer : Supposons que √2 = p/q, fraction irréductible… · En élevant au carré, on obtient… · Ceci est absurde car…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Un réel qui ne s'écrit pas p/q est dit ___________. √2 est irrationnel : la calculatrice n'en donne qu'une valeur _________. Pour démontrer par l'_______, on suppose le contraire et on aboutit à une _____________.
Séance 2 · Intervalles, valeur absolue et encadrements
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment traduire « 25 mm à 0,2 mm près » ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Intervalles et distances
L'ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b est l'intervalle [a ; b] ; le crochet tourné vers l'extérieur exclut la borne : ]a ; b[, [a ; +∞[ (l'infini est toujours exclu). Sur une droite graduée, on hachure ou on colore la partie concernée. La valeur absolue |a| est la distance de a à 0 : |−3| = 3. La distance entre x et a est |x − a|. Ainsi |x − a| ≤ r signifie que x est à une distance au plus r de a : x ∈ [a − r ; a + r], intervalle de centre a et de rayon r. Un encadrement de √2 d'amplitude 10⁻² est 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42 ; on l'obtient par balayage : on teste 1,40², 1,41², 1,42²…
Document 1 · Contrôle qualité
Situation-problème.
Un atelier fabrique des axes de 25 mm de diamètre. Le cahier des charges impose une tolérance de 0,2 mm. Le contrôleur a mesuré quatre axes : 24,75 mm ; 24,9 mm ; 25,2 mm ; 25,23 mm.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Traduisez la tolérance.
- Écrivez la condition sur le diamètre x avec une valeur absolue.
- Écrivez l'intervalle correspondant et représentez‑le.
- Quels axes sont conformes ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez.
- Écrivez sous forme d'intervalle : −1 < x ≤ 4 ; x ≥ 3.
- Résolvez |x − 2| ≤ 5.
- Par balayage au centième, encadrez √5.
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Programmer
15 minSupports : Documents et cours
Complétez et expliquez une fonction Python qui encadre √2 par balayage : def encadre(n) : x prend la valeur 1 et pas la valeur 10⁻ⁿ ; tant que (x + pas)² ≤ 2, x augmente de pas ; la fonction renvoie x et x + pas. Rédigez 6 lignes d'explication. Pour bien commencer : Le programme part de… · À chaque tour de boucle… · Il s'arrête quand…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
|x − a| ≤ r signifie que x appartient à l'intervalle de ______ a et de ______ r. La ______________ de x − a est la distance entre x et a. Un encadrement de √2 d'_________ 0,01 est 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Un nombre _________ peut s'écrire comme quotient de deux entiers.
√2 et π sont des nombres ____________.
Dans un intervalle, l'infini est toujours ______.
|x − a| est la ________ entre x et a sur la droite graduée.
Ce que j'ai appris
- Reconnaître les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ et savoir qu'il existe des nombres irrationnels
- Représenter et noter des intervalles, traduire une tolérance par |x − a| ≤ r
- Encadrer un réel par des décimaux et arrondir avec un nombre de chiffres significatifs adapté