Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Reconnaître les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ et savoir qu'il existe des nombres irrationnels
- Représenter et noter des intervalles, traduire une tolérance par |x − a| ≤ r
- Encadrer un réel par des décimaux et arrondir avec un nombre de chiffres significatifs adapté
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Pythagoriciens : découverte de l'incommensurabilité de la diagonale du carré (Ve siècle av. J.‑C.)
- Euclide, *Éléments*, livre X (vers 300 av. J.‑C.)
- Simon Stevin, *La Disme* (1585) : les nombres décimaux
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme : « La notation de la valeur absolue est introduite pour exprimer la distance entre deux nombres réels et caractériser les intervalles de centre donné. »
Capacité attendue : « Donner un encadrement, d'amplitude donnée, d'un nombre réel par des décimaux. »
Démonstration au programme : « Le nombre réel √2 est irrationnel. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Nombre rationnel
- Nombre qui peut s'écrire p/q avec p entier relatif et q entier non nul ; ensemble ℚ.
- Nombre irrationnel
- Réel qui n'est pas rationnel, comme √2 ou π.
- Intervalle
- Ensemble des réels compris entre deux bornes, incluses ou exclues : [a ; b], ]a ; b[, [a ; +∞[…
- Valeur absolue
- |a| est la distance de a à 0 ; |x − a| est la distance entre x et a.
- Encadrement
- Deux décimaux d et d' tels que d ≤ x ≤ d' ; d' − d est l'amplitude.
- Chiffres significatifs
- Chiffres d'un nombre à partir du premier chiffre non nul, qui traduisent sa précision.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| Ve siècle av. J.‑C. | Les pythagoriciens découvrent qu'on ne peut pas exprimer la diagonale du carré comme rapport d'entiers à son côté. |
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide traite des grandeurs incommensurables au livre X des Éléments. |
| 1585 | Simon Stevin publie La Disme et popularise les fractions décimales. |
| 1872 | Dedekind et Cantor proposent des constructions rigoureuses des nombres réels. |
Les historiens en débat
La découverte de grandeurs incommensurables a ébranlé l'arithmétique des pythagoriciens, pour qui tout était rapport de nombres entiers. Il a fallu deux millénaires pour construire rigoureusement l'ensemble des réels, au XIXe siècle. Le programme invite à distinguer « nombres réels » et « nombres de la calculatrice », qui ne sont que des approximations décimales. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Benoît Rittaud, Le Fabuleux Destin de √2, Le Pommier, 2006.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Ensembles de nombres et nombres irrationnels | 65 min | classer des nombres et comprendre pourquoi √2 n'est pas un quotient d'entiers |
| Séance 2 | Intervalles, valeur absolue et encadrements | 65 min | décrire une tolérance et encadrer un réel |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Ensembles de nombres et nombres irrationnels
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
La calculatrice donne‑t‑elle la valeur exacte de √2 ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Des entiers aux réels
On emboîte les ensembles : ℕ (entiers naturels) ⊂ ℤ (entiers relatifs) ⊂ 𝔻 (décimaux, de la forme a/10ⁿ) ⊂ ℚ (rationnels, de la forme p/q) ⊂ ℝ (réels, abscisses des points d'une droite graduée). Un réel qui n'est pas rationnel est irrationnel : √2, √3, π. 1/3 est rationnel mais non décimal : 3 × 1/3 = 1, alors qu'un décimal multiplié par 3 ne peut pas donner exactement 1 avec une écriture finie de 0,333… La calculatrice ne manipule que des valeurs approchées : 1,414213562² = 1,99999999979…, pas 2. Raisonnement par l'absurde : pour démontrer une propriété, on suppose son contraire et on aboutit à une contradiction.
Document 1 · Le carré de surface 2
Situation-problème.
Un artisan veut découper un carré de 2 m² dans une plaque. La calculatrice indique que le côté mesure 1,414213562 m. Un élève affirme : « C'est la valeur exacte, puisque la calculatrice l'affiche. »
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Vérifiez à la main et à la calculatrice.
- Calculez 1,4² et 1,5². Que peut‑on dire de √2 ?✔ Corrigé :
1,96 < 2 < 2,25, donc 1,4 < √2 < 1,5.
- Calculez 1,414213562² en posant ou avec un logiciel de calcul exact. Est‑ce exactement 2 ?✔ Corrigé :
Le dernier chiffre de 1,414213562² est 4 (2 × 2), donc ce n'est pas 2 : la valeur affichée est approchée.
- Rangez dans le plus petit ensemble : 3 ; −2 ; 0,25 ; 2/3 ; π.✔ Corrigé :
ℕ ; ℤ ; 𝔻 ; ℚ ; ℝ.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Raisonner
18 minSupports : Cours
Préparez la démonstration de l'irrationalité de √2.
- Montrez que le carré d'un nombre impair 2k + 1 est impair.✔ Corrigé :
(2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, impair.
- En déduire : si p² est pair, alors p est pair.✔ Corrigé :
Si p était impair, p² serait impair : contradiction, donc p est pair.
- Si p = 2k et p² = 2q², que dire de q ?✔ Corrigé :
4k² = 2q² donne q² = 2k², donc q² pair et q pair.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez en 8 à 10 lignes la démonstration complète : √2 n'est pas rationnel. Pour bien commencer : Supposons que √2 = p/q, fraction irréductible… · En élevant au carré, on obtient… · Ceci est absurde car…
Hypothèse de l'absurde avec une fraction irréductible ; p² = 2q² ; p pair puis q pair ; contradiction avec l'irréductibilité ; conclusion. Phrases de liaison (donc, or, ainsi).
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Un réel qui ne s'écrit pas p/q est dit irrationnel. √2 est irrationnel : la calculatrice n'en donne qu'une valeur approchée. Pour démontrer par l'absurde, on suppose le contraire et on aboutit à une contradiction.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Raisonner | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Intervalles, valeur absolue et encadrements
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment traduire « 25 mm à 0,2 mm près » ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Programmer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Intervalles et distances
L'ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b est l'intervalle [a ; b] ; le crochet tourné vers l'extérieur exclut la borne : ]a ; b[, [a ; +∞[ (l'infini est toujours exclu). Sur une droite graduée, on hachure ou on colore la partie concernée. La valeur absolue |a| est la distance de a à 0 : |−3| = 3. La distance entre x et a est |x − a|. Ainsi |x − a| ≤ r signifie que x est à une distance au plus r de a : x ∈ [a − r ; a + r], intervalle de centre a et de rayon r. Un encadrement de √2 d'amplitude 10⁻² est 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42 ; on l'obtient par balayage : on teste 1,40², 1,41², 1,42²…
Document 1 · Contrôle qualité
Situation-problème.
Un atelier fabrique des axes de 25 mm de diamètre. Le cahier des charges impose une tolérance de 0,2 mm. Le contrôleur a mesuré quatre axes : 24,75 mm ; 24,9 mm ; 25,2 mm ; 25,23 mm.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Traduisez la tolérance.
- Écrivez la condition sur le diamètre x avec une valeur absolue.✔ Corrigé :
x − 25 ≤ 0,2. - Écrivez l'intervalle correspondant et représentez‑le.✔ Corrigé :
[24,8 ; 25,2], bornes incluses.
- Quels axes sont conformes ?✔ Corrigé :
24,9 et 25,2 ; 24,75 et 25,23 sont rejetés.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez.
- Écrivez sous forme d'intervalle : −1 < x ≤ 4 ; x ≥ 3.✔ Corrigé :
]−1 ; 4] ; [3 ; +∞[.
- Résolvez |x − 2| ≤ 5.✔ Corrigé :
x ∈ [−3 ; 7].
- Par balayage au centième, encadrez √5.✔ Corrigé :
2,23² = 4,9729 et 2,24² = 5,0176, donc 2,23 ≤ √5 ≤ 2,24.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Programmer
15 minSupports : Documents et cours
Complétez et expliquez une fonction Python qui encadre √2 par balayage : def encadre(n) : x prend la valeur 1 et pas la valeur 10⁻ⁿ ; tant que (x + pas)² ≤ 2, x augmente de pas ; la fonction renvoie x et x + pas. Rédigez 6 lignes d'explication. Pour bien commencer : Le programme part de… · À chaque tour de boucle… · Il s'arrête quand…
Boucle non bornée (while) ; condition (x + pas)² ≤ 2 ; à la sortie, x² ≤ 2 < (x + pas)² ; encadrement d'amplitude 10⁻ⁿ ; limite : les flottants sont des valeurs approchées.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
|x − a| ≤ r signifie que x appartient à l'intervalle de centre a et de rayon r. La valeur absolue de x − a est la distance entre x et a. Un encadrement de √2 d'amplitude 0,01 est 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Programmer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Un nombre rationnel peut s'écrire comme quotient de deux entiers.
√2 et π sont des nombres irrationnels.
Dans un intervalle, l'infini est toujours exclu.
|x − a| est la distance entre x et a sur la droite graduée.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Placez chaque nombre dans le plus petit ensemble qui le contient (ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ) : −4 ; 7/4 ; 1/3 ; √9 ; √5. | 4 pts | −4 ∈ ℤ ; 7/4 = 1,75 ∈ 𝔻 ; 1/3 ∈ ℚ (non décimal) ; √9 = 3 ∈ ℕ ; √5 ∈ ℝ (irrationnel). Un point pour quatre réponses justes, trois points au total pour les cinq, un point pour la justification de 1/3. |
| 2 | Une pièce usinée doit mesurer 25 mm avec une tolérance de 0,2 mm. Traduisez cette condition par une inégalité avec une valeur absolue, puis par un intervalle. Les pièces de 24,85 mm, 25,21 mm et 25,2 mm sont‑elles conformes ? | 8 pts | |x − 25| ≤ 0,2, soit x ∈ [24,8 ; 25,2]. 24,85 : oui ; 25,21 : non (distance 0,21) ; 25,2 : oui (borne incluse). Traduction (3 pts), intervalle (2 pts), décisions justifiées (3 pts). |
| 3 | Démontrez que √2 est irrationnel en complétant puis en rédigeant le raisonnement par l'absurde : on suppose √2 = p/q avec p/q irréductible… Pour bien commencer : *Supposons que…* · *On en déduit que…* · *Ceci contredit…* | 8 pts | p² = 2q², donc p² est pair, donc p est pair (le carré d'un impair est impair), p = 2k ; alors 4k² = 2q², q² = 2k², q est pair : p et q sont pairs, la fraction n'était pas irréductible, contradiction. Structure de l'absurde (3 pts), étapes justifiées (4 pts), conclusion (1 pt). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : passer d'une écriture décimale à une fraction ou à un pourcentage, ordre de grandeur.
- Pour aller plus loin : démontrer que 1/3 n'est pas décimal et observer la période du développement décimal de 1/7.