Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Utiliser la définition « a est multiple de b s'il existe un entier k tel que a = kb »
- Démontrer des propriétés de parité et de multiples avec le calcul littéral
- Résoudre des problèmes de partage, de calendrier et de fractions irréductibles ; écrire un test de divisibilité en Python
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Euclide, *Éléments*, livres VII à IX (vers 300 av. J.‑C.) : algorithme d'Euclide et infinité des nombres premiers
- Ératosthène : le crible (IIIe siècle av. J.‑C.)
- Gauss, *Disquisitiones arithmeticae* (1801)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme : « Modéliser et résoudre des problèmes mobilisant les notions de multiple, de diviseur, de nombre pair, de nombre impair. »
Démonstration au programme : « Le carré d'un nombre impair est impair. »
Exemple d'algorithme : « Déterminer si un entier naturel a est multiple d'un entier naturel b. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Multiple, diviseur
- a est multiple de b (et b diviseur de a) s'il existe un entier k tel que a = kb.
- Pair, impair
- Un entier pair s'écrit 2k ; un entier impair s'écrit 2k + 1, avec k entier.
- Nombre premier
- Entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui‑même (2, 3, 5, 7, 11…).
- Décomposition
- Écriture d'un entier comme produit de nombres premiers, par exemple 84 = 2² × 3 × 7.
- Fraction irréductible
- Fraction dont numérateur et dénominateur n'ont que 1 comme diviseur commun positif.
- Reste
- Dans a = bq + r avec 0 ≤ r < b, r est le reste de la division euclidienne ; a est multiple de b si r = 0 (a % b == 0 en Python).
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide démontre qu'il existe une infinité de nombres premiers. |
| IIIe siècle av. J.‑C. | Ératosthène décrit un crible pour trouver les nombres premiers. |
| 1640 | Fermat énonce son « petit théorème » dans une lettre à Frénicle de Bessy. |
| 1801 | Gauss publie les Disquisitiones arithmeticae, fondement de l'arithmétique moderne. |
Les historiens en débat
L'arithmétique est l'une des plus anciennes branches des mathématiques : les Éléments d'Euclide contiennent déjà l'algorithme du plus grand diviseur commun et la preuve de l'infinité des nombres premiers. Longtemps jugée sans application, elle est aujourd'hui au coeur de la cryptographie qui protège les paiements en ligne. En seconde, elle est surtout l'occasion d'apprendre à démontrer avec le calcul littéral. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
- Marcus du Sautoy, La Symphonie des nombres premiers, Héloïse d'Ormesson, 2005.
- Simon Singh, Le Dernier Théorème de Fermat, JC Lattès, 1998.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Multiples, diviseurs et démonstrations | 65 min | démontrer des propriétés générales sur les entiers |
| Séance 2 | Nombres premiers, partages et fractions irréductibles | 65 min | décomposer, partager équitablement, simplifier une fraction |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Multiples, diviseurs et démonstrations
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment être sûr qu'une propriété est vraie pour tous les entiers ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Démontrer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Multiples et parité
Dans ℤ, a est multiple de b (b ≠ 0) s'il existe un entier k tel que a = kb ; on dit aussi que b divise a. Un entier pair s'écrit 2k, un entier impair 2k + 1. Pour démontrer une propriété générale, on ne se contente pas d'exemples : on écrit les nombres avec des lettres. Exemple : si a = 5k et b = 5m, alors a + b = 5(k + m), multiple de 5. Le carré d'un impair : (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, impair. Un seul contre‑exemple suffit pour prouver qu'une affirmation générale est fausse.
Document 1 · Le défi des nombres
Situation-problème.
Sur un forum, trois affirmations circulent : A « La somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5. » B « Le carré d'un nombre impair est impair. » C « Tout nombre de la forme n² + n + 41 est premier » (vérifiée pour n = 0, 1, 2, … 10).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Testez puis conjecturez.
- Testez A et B sur trois exemples.✔ Corrigé :
15 + 20 = 35 ; 3² = 9, 7² = 49 : les exemples fonctionnent.
- Calculez n² + n + 41 pour n = 40.✔ Corrigé :
1 600 + 40 + 41 = 1 681 = 41² : non premier.
- Que peut‑on dire de C ?✔ Corrigé :
Elle est fausse : un contre‑exemple suffit, même si elle marche pour beaucoup de valeurs.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Démontrer
18 minSupports : Cours
Démontrez A et B avec des lettres.
- Écrivez deux multiples de 5 avec des lettres et additionnez.✔ Corrigé :
5k + 5m = 5(k + m), multiple de 5.
- Développez (2k + 1)² et concluez.✔ Corrigé :
4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 : impair.
- Démontrez que la différence de deux impairs est paire.✔ Corrigé :
(2k + 1) − (2m + 1) = 2(k − m).
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une réponse au forum (8 à 10 lignes) : quelles affirmations sont démontrées, laquelle est fausse et pourquoi des exemples ne suffisent pas. Pour bien commencer : Les exemples montrent…, mais… · Pour démontrer A, on écrit… · En revanche, l'affirmation C…
Distinction exemple / démonstration / contre‑exemple ; preuves littérales de A et B ; contre‑exemple n = 40 pour C ; conclusion claire.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Pour démontrer une propriété générale, on écrit les nombres avec des lettres. Un seul contre‑exemple suffit pour prouver qu'une affirmation générale est fausse. Un impair s'écrit 2k + 1.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Démontrer | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Nombres premiers, partages et fractions irréductibles
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment répartir sans reste des objets en paquets identiques ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Programmer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Diviseurs communs et nombres premiers
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs, 1 et lui‑même ; 1 n'est pas premier. Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de nombres premiers : 360 = 2³ × 3² × 5. Les diviseurs communs à deux entiers se lisent sur leurs décompositions ; le plus grand permet de faire des paquets identiques sans reste. Pour rendre une fraction irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leur plus grand diviseur commun : 84/60 = 7/5. En Python, a % b donne le reste de la division de a par b : a est multiple de b si a % b == 0.
Document 1 · La fête du lycée
Situation-problème.
Le foyer des élèves doit répartir 84 bouteilles d'eau et 60 sachets de fruits secs dans des paniers identiques, sans qu'il en reste, pour les bénévoles de la fête. Il veut le plus grand nombre de paniers possible.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Décomposez et cherchez.
- Décomposez 84 et 60 en produits de facteurs premiers.✔ Corrigé :
84 = 2² × 3 × 7 ; 60 = 2² × 3 × 5.
- Quel est le plus grand nombre de paniers ?✔ Corrigé :
2² × 3 = 12 paniers.
- Contenu d'un panier ?✔ Corrigé :
7 bouteilles et 5 sachets.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Résolvez.
- Rendez irréductible 126/210.✔ Corrigé :
126 = 2 × 3² × 7, 210 = 2 × 3 × 5 × 7 : diviseur commun 42 ; 3/5.
- Quel est le plus grand multiple de 7 inférieur ou égal à 100 ?✔ Corrigé :
7 × 14 = 98.
- Deux bus partent ensemble ; l'un repasse toutes les 12 min, l'autre toutes les 18 min. Quand repartent‑ils ensemble ?✔ Corrigé :
Plus petit multiple commun : 36 min.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Programmer
15 minSupports : Documents et cours
Écrivez une fonction Python est_multiple(a, b) qui renvoie True si a est multiple de b, puis une fonction qui renvoie le plus grand multiple de a inférieur ou égal à b. Expliquez en 6 lignes. Pour bien commencer : La fonction teste si… · On utilise le reste… · Pour le plus grand multiple, …
return a % b == 0 ; pour le plus grand multiple : (b
a) × a ou une boucle while ; tests sur des exemples (7 et 100 donnent 98) ; explication du reste.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs. Pour faire le plus grand nombre de paquets identiques, on cherche le plus grand diviseur commun. En Python, a % b == 0 teste si a est multiple de b.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Programmer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
a est un multiple de b s'il existe un entier k tel que a = kb.
Un nombre pair s'écrit 2k, un nombre impair 2k + 1.
La somme de deux multiples de a est un multiple de a.
Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont pas d'autre diviseur commun positif que 1.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Vrai ou faux ? Justifiez : 91 est premier ; 2 026 est multiple de 4 ; la somme de deux impairs est impaire ; 0 est multiple de 7. | 4 pts | Faux (91 = 7 × 13) ; faux (2 026 = 4 × 506 + 2) ; faux ((2k + 1) + (2m + 1) = 2(k + m + 1), pair) ; vrai (0 = 7 × 0). Un point par réponse justifiée. |
| 2 | Un pâtissier dispose de 84 macarons et de 60 chouquettes. Il veut faire le plus grand nombre de boîtes identiques en utilisant tout. Combien de boîtes, et que contient chacune ? | 8 pts | On cherche le plus grand diviseur commun : 84 = 2² × 3 × 7 et 60 = 2² × 3 × 5, d'où 12. 12 boîtes de 7 macarons et 5 chouquettes. Décompositions (3 pts), plus grand diviseur commun (3 pts), phrase réponse (2 pts). |
| 3 | Démontrez que le produit de deux entiers consécutifs est toujours pair, puis que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de 3. Pour bien commencer : *Soit n un entier…* · *Premier cas : …* · *Dans tous les cas, …* | 8 pts | n(n + 1) : si n est pair, n = 2k et le produit vaut 2k(2k + 1) ; si n est impair, n + 1 est pair, même conclusion. n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1), multiple de 3. Disjonction des cas (4 pts), calcul littéral et conclusion (4 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : tables de multiplication, critères de divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 10.
- Pour aller plus loin : programmer le crible d'Ératosthène jusqu'à 100 avec Basthon.