Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Relier courbe et tableau de variations ; lire et justifier un maximum ou un minimum
- Démontrer le sens de variation d'une fonction affine et de la fonction carré
- Résoudre un problème d'optimisation avec GeoGebra et un programme Python de balayage
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Fermat, méthode *de maximis et minimis* (vers 1636)
- Didon et le problème isopérimétrique (légende rapportée par Virgile, *Énéide*)
- Héron d'Alexandrie et le plus court chemin de la lumière (Ier siècle)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Traiter de problèmes d'optimisation. »
Outils numériques : « Exploiter un logiciel de géométrie dynamique ou de calcul formel, la calculatrice ou Python pour décrire les variations d'une fonction donnée par une formule. »
Exemple d'algorithme : « Pour une fonction dont le tableau de variations est donné, algorithmes d'approximation numérique d'un extrémum (balayage, dichotomie). »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Fonction croissante
- f est croissante sur I si, pour tous a < b dans I, f(a) ≤ f(b).
- Fonction décroissante
- f est décroissante sur I si, pour tous a < b dans I, f(a) ≥ f(b).
- Tableau de variations
- Tableau qui indique par des flèches les intervalles de croissance et de décroissance, avec les valeurs aux bornes.
- Maximum
- M est le maximum de f sur I s'il existe a dans I tel que f(a) = M et f(x) ≤ M pour tout x de I.
- Fonction affine
- f(x) = mx + p : m est le taux d'accroissement, p l'ordonnée à l'origine ; f est croissante si m > 0, décroissante si m < 0.
- Balayage
- Calcul des images pour des valeurs régulièrement espacées afin d'approcher un extremum.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| Ier siècle | Héron d'Alexandrie montre que la lumière réfléchie suit le chemin le plus court. |
| vers 1636 | Fermat expose une méthode pour trouver maximums et minimums. |
| 1684 | Leibniz publie les premières règles du calcul différentiel, outil général d'optimisation. |
| 1947 | George Dantzig invente l'algorithme du simplexe pour l'optimisation linéaire. |
Les historiens en débat
Chercher le meilleur (le plus court, le plus grand, le moins cher) est l'un des moteurs historiques des mathématiques, de Héron à Fermat, puis au calcul différentiel. En seconde, les élèves optimisent avec un tableau de variations, une figure dynamique ou un programme de balayage ; la dérivation, en première, donnera une méthode générale. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ivar Ekeland, Le Calcul, l'imprévu, Seuil, 1984.
- George Pólya, Comment poser et résoudre un problème, Dunod, 1965.
- Ian Stewart, 17 Equations That Changed the World, Profile Books, 2012.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Sens de variation et tableaux de variations | 65 min | décrire, démontrer et exploiter les variations d'une fonction |
| Séance 2 | Optimiser : figure dynamique et balayage | 65 min | trouver un extremum par le calcul, GeoGebra et Python |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Sens de variation et tableaux de variations
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment résumer l'évolution d'une grandeur en un seul tableau ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Démontrer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Croissance, décroissance, extremums
f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a < b de I, f(a) ≤ f(b) : elle conserve l'ordre ; décroissante si elle l'inverse. Le tableau de variations résume ces intervalles par des flèches. Le maximum de f sur I est la plus grande valeur prise, le minimum la plus petite. Une fonction affine f(x) = mx + p est croissante si m > 0 (démonstration : f(b) − f(a) = m(b − a), du signe de m), décroissante si m < 0, constante si m = 0. La fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ ; la fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.
Document 1 · La température d'une serre
Situation-problème.
Une sonde enregistre la température d'une serre de 0 h à 24 h. La courbe obtenue (déposée sur l'ENT) montre : 12 °C à 0 h, un minimum de 9 °C à 5 h, un maximum de 31 °C à 15 h, puis 14 °C à 24 h.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Lisez et résumez.
- Sur quels intervalles la température augmente‑t‑elle ?✔ Corrigé :
Sur [5 ; 15].
- Dressez le tableau de variations.✔ Corrigé :
Décroissante de 12 à 9 sur [0 ; 5], croissante de 9 à 31 sur [5 ; 15], décroissante de 31 à 14 sur [15 ; 24].
- Peut‑on comparer T(6) et T(10) sans la courbe ? T(2) et T(20) ?✔ Corrigé :
T(6) < T(10) (croissante sur [5 ; 15]) ; on ne peut pas comparer T(2) et T(20) avec le seul tableau.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Démontrer
18 minSupports : Cours
Démontrez avec la définition.
- f(x) = −3x + 2 : calculez f(b) − f(a) pour a < b.✔ Corrigé :
−3(b − a) < 0 : f est décroissante.
- Montrez que la fonction carré est croissante sur [0 ; +∞[.✔ Corrigé :
0 ≤ a < b : b² − a² = (b − a)(b + a) > 0.
- La fonction inverse est‑elle décroissante sur ℝ privé de 0 ? Testez −1 et 1.✔ Corrigé :
Non : −1 < 1 et 1/(−1) < 1/1 ; elle est décroissante sur chacun des deux intervalles séparément.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Le jardinier doit aérer la serre quand la température dépasse 25 °C. Rédigez une consigne (6 à 8 lignes) en exploitant le tableau de variations et une lecture graphique. Pour bien commencer : D'après le tableau de variations, … · La température dépasse 25 °C entre… · Il faut donc ouvrir…
Utilisation du tableau (seul l'intervalle [5 ; 15] puis [15 ; 24] peut contenir 25 °C) ; lecture graphique des deux instants ; consigne claire avec horaires approximatifs ; vocabulaire maximum, croissante.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une fonction croissante conserve l'ordre. Une fonction affine est croissante si son coefficient directeur est positif. La fonction carré est décroissante sur les négatifs et croissante sur les positifs. Le maximum est la plus grande valeur prise.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Démontrer | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Optimiser : figure dynamique et balayage
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quel enclos donne la plus grande aire ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Programmer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Approcher puis justifier un extremum
Pour optimiser, on choisit une variable x, on exprime la grandeur à optimiser par une fonction f(x) sur un intervalle, puis on cherche son maximum ou son minimum. On peut conjecturer avec un curseur GeoGebra ou un tableau de valeurs, approcher par balayage (calcul de f pour x allant de a à b avec un pas) ou par dichotomie, puis justifier par le calcul. Exemple : A(x) = x(20 − 2x) = −2x² + 20x. Comme −2(x − 5)² + 50 = −2x² + 20x, on a A(x) = 50 − 2(x − 5)² ≤ 50, avec égalité pour x = 5 : le maximum est 50.
Document 1 · L'enclos du lycée agricole
Situation-problème.
Un lycée agricole dispose de 20 m de grillage pour un enclos rectangulaire adossé à un mur : le grillage forme trois côtés. On note x (en m) la largeur, perpendiculaire au mur.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Conjecturez.
- Calculez l'aire pour x = 2, 4, 5, 6, 8.✔ Corrigé :
32 ; 48 ; 50 ; 48 ; 32 m².
- Exprimez A(x) et précisez l'intervalle.✔ Corrigé :
A(x) = x(20 − 2x), x ∈ [0 ; 10].
- Conjecture ?✔ Corrigé :
Maximum de 50 m² pour x = 5 m.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Programmer
18 minSupports : Cours
Étudiez le programme de balayage : on part de x = 0, on calcule A(x) avec un pas de 0,1, on garde la plus grande valeur rencontrée et la valeur de x correspondante.
- Combien de valeurs de x sont testées entre 0 et 10 ?✔ Corrigé :
101 valeurs.
- Que renvoie le programme ?✔ Corrigé :
Environ x = 5 et A = 50.
- Pourquoi le balayage ne prouve‑t‑il pas le résultat ?✔ Corrigé :
Il ne teste qu'un nombre fini de valeurs avec des flottants : il faut une justification algébrique.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Démontrer
15 minSupports : Documents et cours
Démontrez que A(x) = 50 − 2(x − 5)², puis concluez sur le maximum. Rédigez une réponse au gestionnaire (6 à 8 lignes) avec les dimensions de l'enclos. Pour bien commencer : En développant 50 − 2(x − 5)², on obtient… · Comme un carré est toujours positif, … · L'enclos le plus grand mesure…
Développement correct ; (x − 5)² ≥ 0 donc A(x) ≤ 50 ; égalité si x = 5 ; dimensions 5 m × 10 m ; aire 50 m² ; lien avec la conjecture et le balayage.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Pour optimiser, on exprime la grandeur par une fonction d'une variable choisie. Le balayage permet de conjecturer un extremum, le calcul permet de le justifier. Un carré est toujours positif ou nul.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Programmer | 7 |
| Activité 3 · Démontrer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
f est croissante sur un intervalle si, quand x augmente, f(x) augmente.
Une fonction affine x ↦ mx + p est croissante si m est positif.
Un tableau de variations résume les intervalles de croissance et de décroissance.
Le maximum de f sur un intervalle est la plus grande valeur prise par f(x).
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Une fonction f est définie sur [−2 ; 6] ; elle croît de f(−2) = 1 à f(1) = 5, puis décroît jusqu'à f(6) = −3. Dressez le tableau de variations ; donnez le maximum, le minimum ; comparez f(2) et f(4). | 4 pts | Tableau : flèche montante de 1 à 5 sur [−2 ; 1], descendante de 5 à −3 sur [1 ; 6]. Maximum 5 en 1, minimum −3 en 6. f(2) > f(4) car f est décroissante sur [1 ; 6]. Tableau (2 pts), extremums (1 pt), comparaison (1 pt). |
| 2 | Démontrez que la fonction carré est décroissante sur ]−∞ ; 0] : prenez a < b ≤ 0 et étudiez le signe de a² − b². | 8 pts | a² − b² = (a − b)(a + b) ; a − b < 0 et a + b < 0 donc le produit est positif : a² > b². Quand x augmente, x² diminue. Factorisation (3 pts), signes (3 pts), conclusion (2 pts). |
| 3 | Avec 20 m de grillage, on veut clôturer un enclos rectangulaire le long d'un mur (le mur forme un côté). On note x la largeur perpendiculaire au mur. Exprimez l'aire A(x), trouvez la valeur de x qui la rend maximale et justifiez. Pour bien commencer : *Je note x…, la longueur vaut alors…* · *L'aire est maximale quand…* · *L'enclos optimal mesure…* | 8 pts | Longueur 20 − 2x ; A(x) = x(20 − 2x) = −2x² + 20x sur [0 ; 10]. A(x) = 50 − 2(x − 5)², maximale pour x = 5 : enclos de 5 m sur 10 m, aire 50 m². Modélisation (3 pts), justification du maximum (3 pts), conclusion (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : lire un maximum sur une courbe, calculer des images avec la calculatrice.
- Pour aller plus loin : programmer la dichotomie pour approcher le maximum, comparer le nombre d'étapes avec le balayage.