Vecteurs : coordonnées, colinéarité et déterminant · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée général · Seconde

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 2de générale et technologique publié au BO du 2 avril 2026, en vigueur à la rentrée 2026.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de seconde générale et technologique (BO du 2 avril 2026, en vigueur à la rentrée 2026), partie « Géométrie », section « Vecteurs et problèmes de géométrie »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Représenter et calculer avec des vecteurs (somme, produit par un réel, coordonnées, norme)
Calculer le déterminant de deux vecteurs et caractériser la colinéarité
Démontrer alignement et parallélisme ; modéliser un déplacement ou une force

Capacités travaillées (BO)

Chercher, expérimenter (outils numériques)
Modéliser une situation
Représenter, changer de registre
Raisonner, démontrer
Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
Communiquer un résultat, expliquer une démarche

Notions et définitions

vecteur, représentant, vecteur nulsomme de vecteurs, relation de Chaslesproduit d'un vecteur par un réelcoordonnées, norme dans une base orthonorméedéterminant, colinéarité

Repères historiques

Simon Stevin et le parallélogramme des forces (1586)
Descartes, *La Géométrie* (1637) : la méthode des coordonnées
Hermann Grassmann, *Die lineale Ausdehnungslehre* (1844)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Capacité attendue : « Caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs. »

Démonstration au programme : « Caractérisations de la colinéarité de deux vecteurs non nuls : nullité du déterminant ; proportionnalité des coordonnées. »

Orientation : « Les problèmes de géométrie sont l'occasion de mettre en avant l'efficacité de l'outil vectoriel. »

Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »

Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).

Notions : définitions rigoureuses

Vecteur: Objet défini par une direction, un sens et une longueur ; le vecteur AB est associé à la translation qui envoie A sur B.
Relation de Chasles: Pour tous points A, B, C : AB + BC = AC (en vecteurs).
Produit par un réel: k × u a même direction que u, même sens si k > 0, sens contraire si k < 0, et une longueur multipliée par |k|.
Coordonnées et norme: Si u(x ; y) dans une base orthonormée, ‖u‖ = √(x² + y²).
Déterminant: det(u, v) = xy' − yx' pour u(x ; y) et v(x' ; y').
Colinéarité: u et v sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre, ce qui équivaut à det(u, v) = 0.

Repères

Date	Événement
1586	Simon Stevin étudie l'équilibre des forces sur un plan incliné.
1637	Descartes relie géométrie et calcul par les coordonnées.
1844	Grassmann publie une théorie générale des grandeurs étendues, ancêtre du calcul vectoriel.
1881‑1884	Gibbs et Heaviside fixent les notations vectorielles utilisées en physique.

Les historiens en débat

La notion de vecteur est née de la mécanique (composition des forces et des vitesses) avant d'être formalisée au XIXe siècle par Grassmann, Hamilton, puis Gibbs et Heaviside. Le programme souligne que la « méthode des coordonnées » de Descartes et le vecteur relient efficacement géométrie, physique et calcul : un alignement se démontre par un déterminant. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
Lire · épreuve anticipée de mathématiques (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
Richard Courant et Herbert Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Vecteurs, somme et coordonnées	65 min	représenter et calculer avec des vecteurs
Séance 2	Colinéarité, alignement et parallélisme	65 min	utiliser le déterminant pour démontrer
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Vecteurs, somme et coordonnées

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment additionner deux déplacements ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Calcul vectoriel

Le vecteur AB représente le déplacement de A vers B ; deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur (ABDC parallélogramme). Relation de Chasles : AB + BC = AC. Pour additionner deux vecteurs de même origine, on construit le parallélogramme. Dans une base orthonormée, si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A) et AB = √((x_B − x_A)² + (y_B − y_A)²). Les coordonnées s'additionnent : u(x ; y) + v(x' ; y') = (x + x' ; y + y'), et k u = (kx ; ky). Le milieu de [AB] a pour coordonnées ((x_A + x_B)/2 ; (y_A + y_B)/2).

Document 1 · Le drone de livraison

Situation-problème.

Un drone part d'une base O(0 ; 0) (unités : centaines de mètres). Il effectue le déplacement u(3 ; 1), puis le déplacement v(1 ; 4), puis revient vers un point de dépôt D(2 ; 2).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez les positions.

Position A après le premier déplacement, B après le second ?
✔ Corrigé :
A(3 ; 1) ; B(4 ; 5).
Coordonnées du vecteur OB ; comparez avec u + v.
✔ Corrigé :
OB(4 ; 5) = u + v (Chasles : OA + AB = OB).
Distance BD en mètres ?
✔ Corrigé :
BD(−2 ; −3), √13 ≈ 3,61 soit environ 361 m.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

u(2 ; −1) et v(−3 ; 4) : 2u − v ?
✔ Corrigé :
(4 + 3 ; −2 − 4) = (7 ; −6).
Norme de v ?
✔ Corrigé :
√(9 + 16) = 5.
E(−1 ; 3), F(5 ; −1) : milieu de [EF] ?
✔ Corrigé :
(2 ; 1).

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez le compte rendu de vol du drone (6 à 8 lignes) : positions, déplacement total, distance parcourue et distance à vol d'oiseau entre la base et le point B. Comparez. Pour bien commencer : Le drone part de… puis… · Le déplacement total est le vecteur… · La distance parcourue est plus grande que…

✔ Corrigé rédigé :

Positions A et B ; OB = u + v ; longueurs ‖u‖ = √10, ‖v‖ = √17, total ≈ 7,28 ; OB = √41 ≈ 6,40 ; inégalité triangulaire commentée ; unités.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Relation de Chasles : AB + BC = AC en vecteurs. Les coordonnées du vecteur AB s'obtiennent en faisant extrémité moins origine. Dans une base orthonormée, la norme de u(x ; y) vaut √(x² + y²). Le milieu d'un segment a pour coordonnées la moyenne des coordonnées des extrémités.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · S'entraîner	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Colinéarité, alignement et parallélisme

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Trois points sont‑ils alignés ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Démontrer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Le déterminant

Deux vecteurs u et v sont colinéaires si l'un est un multiple de l'autre (v = k u). Dans une base orthonormée, le déterminant de u(x ; y) et v(x' ; y') est det(u, v) = xy' − yx'. Propriété (démontrée) : u et v sont colinéaires si et seulement si det(u, v) = 0, ce qui équivaut, pour des vecteurs à coordonnées non nulles, à la proportionnalité des coordonnées. Applications : A, B, C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires ; (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires. Sans repère, on utilise la relation de Chasles pour exprimer les vecteurs en fonction de deux vecteurs non colinéaires.

Document 1 · Le tracé d'une piste cyclable

Situation-problème.

Sur le plan d'une commune (repère orthonormé, unité 100 m), une piste doit relier A(1 ; 2) à C(7 ; 10) en passant par l'arrêt de bus B(4 ; 6). Une seconde piste relie D(0 ; 5) à E(6 ; 13).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

Coordonnées de AB et AC ?
✔ Corrigé :
AB(3 ; 4) ; AC(6 ; 8).
det(AB, AC) ? Conclusion ?
✔ Corrigé :
3 × 8 − 4 × 6 = 0 : A, B, C alignés.
Les deux pistes sont‑elles parallèles ?
✔ Corrigé :
DE(6 ; 8) = AC : det = 0, parallèles.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Démontrer

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Démontrez dans le cas général.

Si v = k u, montrez que det(u, v) = 0.
✔ Corrigé :
x(ky) − y(kx) = 0.
u(2 ; 3) et v(4 ; 6,1) sont‑ils colinéaires ?
✔ Corrigé :
2 × 6,1 − 3 × 4 = 0,2 ≠ 0 : non.
Trouvez m pour que u(m ; 4) et v(3 ; 6) soient colinéaires.
✔ Corrigé :
6m − 12 = 0, m = 2.

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la note destinée au service urbanisme (6 à 8 lignes) : la piste A‑C passe‑t‑elle par l'arrêt B ? Les deux pistes sont‑elles parallèles ? Justifiez par des déterminants. Pour bien commencer : Pour savoir si B est sur la piste, … · Le déterminant vaut…, donc… · En conclusion, …

✔ Corrigé rédigé :

Coordonnées justes ; déterminants nuls ; conclusions alignement et parallélisme ; vocabulaire (colinéaires, déterminant) ; phrase finale adressée au service.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul. A, B, C sont alignés si AB et AC sont colinéaires. (AB) et (CD) sont parallèles si AB et CD sont colinéaires. det(u, v) = xy' − yx'.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · Démontrer	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Les vecteurs AB et CD sont égaux si ABDC est un parallélogramme.

Relation de Chasles : AB + BC = AC (en vecteurs).

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.

Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le vecteur AB a pour coordonnées (x_B − x_A ; y_B − y_A).

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Dans un repère orthonormé, A(1 ; 2), B(4 ; 6), C(−2 ; 3). Calculez les coordonnées de AB, la longueur AB, les coordonnées du milieu de [BC] et celles de AB + AC (vecteurs).	4 pts	AB(3 ; 4) ; AB = √(9 + 16) = 5 ; milieu (1 ; 4,5) ; AC(−3 ; 1) donc AB + AC (0 ; 5). Un point par résultat.
2	Avec A(1 ; 2), B(4 ; 6), D(7 ; 10) et E(10 ; 13) : A, B, D sont‑ils alignés ? Les droites (AB) et (DE) sont‑elles parallèles ? Justifiez avec des déterminants.	8 pts	AB(3 ; 4), AD(6 ; 8) : det = 3 × 8 − 4 × 6 = 0, alignés. DE(3 ; 3) : det(AB, DE) = 3 × 3 − 4 × 3 = −3 ≠ 0, non parallèles. Chaque conclusion : calcul (2 pts) et phrase (2 pts).
3	ABCD est un parallélogramme, I le milieu du segment AB et J le point tel que AJ = (1/3) AC en vecteurs. Démontrez que D, J et I sont alignés en exprimant DI et DJ en fonction de AB et AD. Pour bien commencer : D'après la relation de Chasles, … · On remarque que DJ = k DI avec… · Les vecteurs étant colinéaires, …	8 pts	DI = DA + AI = (1/2) AB − AD ; DJ = DA + AJ = −AD + (1/3)(AB + AD) = (1/3) AB − (2/3) AD = (2/3) DI : les vecteurs sont colinéaires et D, J, I alignés. Décompositions par Chasles (4 pts), relation de colinéarité (3 pts), conclusion (1 pt).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : lire des coordonnées, calculer un milieu, appliquer le théorème de Pythagore.
Pour aller plus loin : démontrer avec les vecteurs que les médianes d'un triangle sont concourantes.