Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Déterminer une équation cartésienne ou réduite d'une droite (deux points, point et vecteur directeur, point et pente)
- Lire et interpréter la pente ; reconnaître des droites parallèles ou sécantes
- Calculer le point d'intersection de deux droites et l'interpréter dans un problème
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Descartes, *La Géométrie* (1637)
- Fermat, *Ad locos planos et solidos isagoge* (rédigé vers 1636) : équations de droites
- Gaspard Monge, *Géométrie descriptive* (1799)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Déterminer une équation de droite à partir de deux points, un point et un vecteur directeur ou un point et la pente. »
Intersection : « Déterminer le point d'intersection de deux droites sécantes données par leur équation réduite. »
Histoire des mathématiques : « Les progrès apportés par la « méthode des coordonnées » de Descartes, puis par la notion de vecteur, permettent de relier efficacement géométrie, physique et calcul. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve anticipée de mathématiques (fin de 1re, note de service du 11 septembre 2026) : écrite, 2 heures, coefficient 2. « Elle entre en vigueur à compter de l'année scolaire 2026-2027, pour les épreuves présentées au titre la session 2028. » « La première partie est notée sur 6 points et la seconde partie est notée sur 14 points. » « L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé pour l'ensemble de l'épreuve. » « La maîtrise de la langue est prise en compte à hauteur de deux points sur vingt » (note de service du 11 septembre 2026 (BO) ; épreuve anticipée de mathématiques (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Vecteur directeur
- Vecteur non nul dont la direction est celle de la droite.
- Équation cartésienne
- Toute droite a une équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) ≠ (0 ; 0) ; (−b ; a) est un vecteur directeur.
- Équation réduite
- y = mx + p pour une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, x = k sinon.
- Pente
- m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A) : quand x augmente de 1, y augmente de m.
- Parallélisme
- Deux droites d'équations réduites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente.
- Intersection
- Le point commun à deux droites sécantes s'obtient en résolvant le système formé par leurs équations.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1636 | Fermat montre qu'une équation du premier degré à deux inconnues représente une droite. |
| 1637 | Descartes publie La Géométrie, en appendice du Discours de la méthode. |
| 1799 | Monge publie sa Géométrie descriptive, base du dessin technique. |
| 1844 | Grassmann généralise la notion de direction avec les vecteurs. |
Les historiens en débat
En associant à chaque point un couple de nombres, Fermat et Descartes ont transformé les problèmes de géométrie en calculs : une droite devient une équation, une intersection devient un système. Cette « méthode des coordonnées » est aujourd'hui partout, du dessin technique aux logiciels de navigation. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Richard Courant et Herbert Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Équations de droites | 65 min | passer d'une description géométrique à une équation |
| Séance 2 | Droites parallèles, droites sécantes | 65 min | étudier la position relative de deux droites et calculer leur intersection |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Équations de droites
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment décrire une droite par une relation entre x et y ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Équation cartésienne et équation réduite
Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur non nul qui en donne la direction. Un point M(x ; y) est sur la droite passant par A et dirigée par u si et seulement si AM et u sont colinéaires : det(AM, u) = 0. On obtient une équation cartésienne ax + by + c = 0 ; le vecteur (−b ; a) dirige la droite. Si b ≠ 0, on isole y : y = mx + p (équation réduite) ; m est la pente et p l'ordonnée à l'origine. Avec deux points A et B : m = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), puis p avec les coordonnées de A. Une droite parallèle à l'axe des ordonnées a une équation x = k. Pour tracer, on place deux points.
Document 1 · La rampe d'accès
Situation-problème.
Un architecte dessine une rampe pour fauteuils roulants dans un repère (unités : mètres). Elle part du point A(0 ; 0) et arrive au point B(12 ; 0,6). La réglementation impose une pente inférieure ou égale à 5 % pour une rampe de cette longueur.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Pente de la droite (AB) ?✔ Corrigé :
0,6/12 = 0,05, soit 5 %.
- Équation réduite de (AB) ?✔ Corrigé :
y = 0,05x.
- À quelle hauteur est la rampe à 8 m du départ ?✔ Corrigé :
0,05 × 8 = 0,4 m.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Déterminez une équation.
- Droite passant par C(1 ; 4) et D(3 ; −2).✔ Corrigé :
m = −3, p = 7 : y = −3x + 7.
- Droite passant par E(2 ; 1) de vecteur directeur u(4 ; 2).✔ Corrigé :
det(EM, u) = 2(x − 2) − 4(y − 1) = 0, soit x − 2y = 0, ou y = 0,5x.
- Droite passant par F(−1 ; 5) de pente 2.✔ Corrigé :
y = 2x + 7.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la vérification réglementaire (6 à 8 lignes) : la rampe dessinée respecte‑t‑elle la pente maximale ? Quelle longueur horizontale faudrait‑il pour monter 0,8 m avec une pente de 5 % ? Pour bien commencer : La pente de la rampe se calcule… · Elle est donc… à la limite autorisée. · Pour une hauteur de 0,8 m, …
Pente 5 % égale au maximum, conforme ; équation y = 0,05x ; 0,8/0,05 = 16 m ; interprétation et unités.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite y = mx + p. m est la pente et p l'ordonnée à l'origine. Si ax + by + c = 0 est une équation de la droite, (−b ; a) est un vecteur directeur.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Droites parallèles, droites sécantes
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Où et quand deux trajectoires se croisent‑elles ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Position relative et systèmes
Deux droites d'équations réduites y = mx + p et y = m'x + p' sont parallèles si et seulement si m = m' (confondues si de plus p = p'). Sinon, elles sont sécantes en un unique point dont les coordonnées vérifient les deux équations : on résout mx + p = m'x + p', puis on calcule y. Plus généralement, deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires (déterminant nul). L'intersection de deux droites traduit souvent un seuil : prix égal, rencontre de deux mobiles, équilibre entre offre et demande.
Document 1 · Deux cyclistes
Situation-problème.
Sur une route rectiligne, Lina part à 9 h du kilomètre 0 et roule à 18 km/h. Malo part à 9 h du kilomètre 30 et roule vers elle à 12 km/h. On note t le temps en heures depuis 9 h et d la position en km.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Équations des positions d_L(t) et d_M(t) ?✔ Corrigé :
d_L = 18t ; d_M = 30 − 12t.
- Quand se croisent‑ils ?✔ Corrigé :
18t = 30 − 12t, t = 1 : à 10 h.
- Où ?✔ Corrigé :
Au kilomètre 18.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Étudiez la position relative.
- y = 3x − 1 et y = 3x + 4 ?✔ Corrigé :
Même pente : parallèles distinctes.
- y = 2x + 1 et y = −x + 7 ?✔ Corrigé :
2x + 1 = −x + 7, x = 2, y = 5 : sécantes en (2 ; 5).
- x − 2y + 3 = 0 et y = 0,5x + 1 ?✔ Corrigé :
La première s'écrit y = 0,5x + 1,5 : parallèles distinctes.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la réponse à la question « À quelle heure et où les cyclistes se croisent‑ils ? » (6 à 8 lignes), avec le graphique GeoGebra des deux droites et une vérification. Pour bien commencer : On modélise chaque trajet par… · Les droites se coupent au point… · Les cyclistes se croisent donc…
Deux équations ; résolution juste ; point (1 ; 18) ; traduction en heure et position ; vérification par le graphique ou par substitution ; unités.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Deux droites d'équations réduites sont parallèles si elles ont la même pente. Sinon elles sont sécantes en un unique point. Pour trouver ce point, on résout l'équation mx + p = m'x + p' puis on calcule y.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation réduite de la forme y = mx + p.
Le nombre m est la pente ou coefficient directeur de la droite.
Deux droites d'équations réduites sont parallèles si elles ont la même pente.
Le vecteur de coordonnées (−b ; a) est un vecteur directeur de la droite d'équation ax + by + c = 0.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Donnez la pente et l'ordonnée à l'origine de la droite d'équation y = −2x + 5, un vecteur directeur, et dites si le point A(3 ; −1) lui appartient. | 4 pts | Pente −2, ordonnée à l'origine 5 ; vecteur directeur (1 ; −2) ; −2 × 3 + 5 = −1 : A appartient à la droite. Un point par élément. |
| 2 | Déterminez l'équation réduite de la droite (AB) avec A(1 ; 3) et B(5 ; 11), puis une équation cartésienne de la droite passant par C(2 ; 0) et de vecteur directeur u(3 ; −1). | 8 pts | m = (11 − 3)/(5 − 1) = 2, p = 3 − 2 = 1 : y = 2x + 1. Pour M(x ; y) : det(CM, u) = (x − 2)(−1) − y × 3 = 0, soit x + 3y − 2 = 0. Quatre points par équation. |
| 3 | Deux offres de covoiturage : l'application A coûte 2 € plus 0,10 € par km, l'application B 0,15 € par km. Modélisez par deux droites, calculez leur point d'intersection et interprétez. Pour bien commencer : *Je modélise chaque offre par…* · *Les droites se coupent au point…* · *Ainsi, pour un trajet…* | 8 pts | y = 0,10x + 2 et y = 0,15x ; 0,15x = 0,10x + 2 donne x = 40, y = 6. Pour 40 km, les deux coûtent 6 € ; en dessous B est moins chère, au‑delà A. Modélisation (3 pts), intersection (3 pts), interprétation (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : calculer une pente à partir de deux points, lire une ordonnée à l'origine sur un graphique.
- Pour aller plus loin : écrire une fonction Python qui renvoie l'équation réduite de la droite passant par deux points donnés.