La fonction logarithme népérien · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée général · Terminale

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de spécialité de mathématiques de Terminale générale, BO spécial n°8 du 25 juillet 2019, applicable en 2026-2027 ; le nouveau programme entre en Terminale à la rentrée 2027.

Place dans le programmeProgramme de spécialité de mathématiques de terminale générale (BO spécial n°8 du 25 juillet 2019, applicable en terminale en 2026-2027 ; le nouveau programme du BO du 2 avril 2026 entre en terminale à la rentrée 2027), partie « Analyse », section « Fonction logarithme »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Définir ln comme réciproque de exp et utiliser ses propriétés algébriques
Résoudre des équations et inéquations, notamment des problèmes de seuil
Étudier la fonction ln (dérivée, limites, croissance comparée) et des fonctions qui la contiennent

Capacités travaillées (BO)

Chercher, expérimenter (outils numériques)
Modéliser une situation
Représenter, changer de registre
Raisonner, démontrer
Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
Communiquer un résultat, expliquer une démarche

Notions et définitions

fonction réciproqueln(ab) = ln(a) + ln(b), ln(aⁿ) = n ln(a)équation et inéquation avec exp et lndérivée 1/x, limites en 0 et en +∞croissance comparée

Repères historiques

John Napier, *Mirifici logarithmorum canonis descriptio* (1614)
Henry Briggs, *Arithmetica logarithmica* (1624)
Euler, *Introductio in analysin infinitorum* (1748)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Ce que dit le programme : « La fonction logarithme népérien est introduite comme fonction réciproque de la fonction exponentielle étudiée en classe de première. »

Capacité attendue : « Utiliser l'équation fonctionnelle de l'exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation. »

Exemple d'algorithme : « Algorithme de Briggs pour le calcul du logarithme. »

Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).

Notions : définitions rigoureuses

Logarithme népérien: Pour x > 0, ln(x) est l'unique réel y tel que eʸ = x.
Propriétés algébriques: ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n ln a ; ln(√a) = (ln a)/2.
Dérivée: ln est dérivable pour x > 0 et (ln x)' = 1/x ; ln est strictement croissante.
Limites: ln(x) tend vers −∞ en 0 et vers +∞ en +∞.
Croissance comparée: ln(x)/x tend vers 0 en +∞ ; x ln(x) tend vers 0 en 0.
Seuil: qⁿ ≥ a se résout avec ln en tenant compte du signe de ln q.

Repères

Date	Événement
1614	Napier publie les premières tables de logarithmes.
1624	Briggs publie des logarithmes décimaux à 14 chiffres.
1647	Grégoire de Saint-Vincent relie aires sous l'hyperbole et logarithmes.
1748	Euler présente exponentielle et logarithme comme fonctions réciproques.

Les historiens en débat

Les logarithmes sont inventés au début du XVIIe siècle pour transformer les multiplications en additions et faciliter les calculs astronomiques et nautiques ; les tables et la règle à calcul les ont rendus indispensables jusqu'aux calculatrices. Le logarithme népérien, lié à l'aire sous l'hyperbole y = 1/x, trouve sa forme moderne chez Euler comme réciproque de l'exponentielle. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
Lire · définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra : tracer exp, ln et la droite y = x.

Sources et bibliographie

Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
Eli Maor, e : The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.
Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Définition et propriétés algébriques du logarithme	65 min	utiliser ln pour transformer des écritures et résoudre des équations
Séance 2	Étude de la fonction logarithme et croissance comparée	65 min	étudier ln et des fonctions qui la contiennent
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Définition et propriétés algébriques du logarithme

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment résoudre eˣ = 5 ou 1,03ⁿ ≥ 2 ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Calculer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Démontrer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · ln, réciproque de exp

La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans ]0 ; +∞[ : pour tout x > 0, l'équation eʸ = x a une unique solution, notée ln(x). Ainsi e^(ln x) = x pour x > 0 et ln(eˣ) = x pour tout réel x ; ln 1 = 0, ln e = 1. De eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ découle l'équation fonctionnelle ln(ab) = ln a + ln b, puis ln(1/a) = −ln a, ln(a/b) = ln a − ln b, ln(aⁿ) = n ln a. Comme ln est strictement croissante, a < b équivaut à ln a < ln b (pour a, b > 0). Pour résoudre qⁿ ≥ a, on compose par ln : n ln q ≥ ln a ; si ln q < 0 (0 < q < 1), on change le sens en divisant.

Document 1 · Le placement de 1re revisité

Situation-problème.

En première, un programme Python a montré qu'un capital placé à 3 % par an double pour la première fois au bout de 24 ans. On veut retrouver ce résultat par le calcul, sans boucle.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Calculer

12 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez.

eˣ = 5.
✔ Corrigé :
x = ln 5.
ln(x) = 2.
✔ Corrigé :
x = e² (avec x > 0).
e^(2x − 1) = 1.
✔ Corrigé :
2x − 1 = 0, x = 1/2.

Critère de réussite	Points
Résolutions justes	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Retrouvez le seuil du document.

Traduisez « le capital a doublé » par une inéquation.
✔ Corrigé :
1 000 × 1,03ⁿ ≥ 2 000, soit 1,03ⁿ ≥ 2.
Résolvez-la avec ln.
✔ Corrigé :
n ln(1,03) ≥ ln 2, et ln(1,03) > 0, donc n ≥ ln 2/ln 1,03 ≈ 23,45.
Conclusion ?
✔ Corrigé :
n entier : n = 24 ans, comme le programme.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Démontrer

15 min

Travail à rendre

Supports : Cours

Consigne :

Démontrez par récurrence que ln(aⁿ) = n ln(a) pour a > 0 et n entier naturel, puis que ln(√a) = ln(a)/2. Pour bien commencer : Initialisation : pour n = 0, … · Hérédité : je suppose que ln(aⁿ) = n ln(a), alors… · Pour la racine carrée, j'utilise que √a × √a = a…

✔ Corrigé rédigé :

Initialisation n = 0 ; hérédité : ln(aⁿ⁺¹) = ln(aⁿ × a) = n ln a + ln a ; conclusion. √a × √a = a donc 2 ln √a = ln a. Rédaction rigoureuse.

Critère de réussite	Points
Démonstration	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln(aⁿ) = n ln(a). ln étant strictement croissante, elle conserve l'ordre.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Calculer	6
Activité 2 · Raisonner	7
Activité 3 · Démontrer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Étude de la fonction logarithme et croissance comparée

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Qui gagne en +∞ : ln(x) ou x ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Observer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Démontrer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Problème) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Dérivée, limites, croissance comparée

ln est dérivable pour x > 0 et (ln x)' = 1/x (on dérive e^(ln x) = x : ln'(x) × x = 1). Comme 1/x > 0, ln est strictement croissante. Limites : ln(x) tend vers +∞ en +∞ et vers −∞ en 0. Les courbes de exp et ln sont symétriques par rapport à la droite y = x. Croissance comparée : ln(x)/x tend vers 0 en +∞ (ln croît beaucoup moins vite que x), et x ln(x) tend vers 0 en 0. Pour une fonction composée, (ln u)' = u'/u, avec u > 0. Exemple : f(x) = x − ln x, f'(x) = (x − 1)/x, minimum f(1) = 1, donc ln x < x.

Document 1 · Exp et ln dans le même repère

Activité numérique.

Dans GeoGebra, tracez f(x) = eˣ, g(x) = ln(x) et la droite y = x. Placez un point A sur la courbe de exp et son symétrique A' par rapport à la droite. Tracez ensuite h(x) = ln(x)/x pour x allant jusqu'à 1 000.

Source : Activité construite pour la séance ; logiciel calculatrice graphique GeoGebra.

Activité 1 · Observer

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Observez et conjecturez.

Où se trouve A' ?
✔ Corrigé :
Sur la courbe de ln : les courbes sont symétriques par rapport à y = x.
Que devient h(x) quand x devient grand ?
✔ Corrigé :
Il tend vers 0 (environ 0,0069 pour x = 1 000).
Conjecture sur ln x et x ?
✔ Corrigé :
ln x < x et ln x devient négligeable devant x.

Critère de réussite	Points
Conjectures	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Démontrer

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez f(x) = x − ln(x) pour x > 0.

f'(x) ?
✔ Corrigé :
1 − 1/x = (x − 1)/x.
Variations de f ?
✔ Corrigé :
Décroissante sur ]0 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[ ; minimum f(1) = 1.
Conséquence ?
✔ Corrigé :
f(x) ≥ 1 > 0, donc ln x < x pour tout x > 0.

Critère de réussite	Points
Étude et conclusion	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Problème

15 min

Travail à rendre

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez f(x) = ln(x² + 1) sur ℝ : dérivée, variations, minimum, limites. Pour bien commencer : La dérivée de ln(u) est u′/u, donc… · Le signe de f′(x) est celui de… · Le minimum est atteint en…

✔ Corrigé rédigé :

f'(x) = 2x/(x² + 1), du signe de x ; f décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ ; minimum f(0) = 0 ; limites +∞ en +∞ et en −∞. Rédaction et justifications.

Critère de réussite	Points
Étude	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

La dérivée de ln est x ↦ 1/x, donc ln est strictement croissante. Les courbes de exp et ln sont symétriques par rapport à la droite y = x. En +∞, ln(x)/x tend vers 0.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Observer	6
Activité 2 · Démontrer	7
Activité 3 · Problème	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Pour tout x > 0, e^(ln x) = x et pour tout réel x, ln(eˣ) = x.

ln(ab) = ln(a) + ln(b).

La dérivée de ln est la fonction x ↦ 1/x.

En +∞, ln(x)/x tend vers 0.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Simplifiez : ln(8) en fonction de ln(2) ; ln(e³) ; e^(2 ln 3) ; ln(1/4) en fonction de ln(2).	4 pts	3 ln 2 ; 3 ; 9 ; −2 ln 2. Un point par résultat exact.
2	Un médicament perd 5 % de sa concentration chaque heure. Au bout de combien d'heures la concentration est-elle inférieure à la moitié de sa valeur initiale ? Résolvez 0,95ⁿ ≤ 0,5 en justifiant chaque étape.	8 pts	ln(0,95ⁿ) ≤ ln(0,5) car ln est croissante ; n ln(0,95) ≤ ln(0,5) ; on divise par ln(0,95) < 0, le sens change : n ≥ ln(0,5)/ln(0,95) ≈ 13,5 ; donc 14 heures. Justification du changement de sens indispensable.
3	Soit g(x) = 2 ln(x) − x pour x > 0. Calculez g'(x), étudiez les variations de g, calculez son maximum et déduisez-en que 2 ln(x) < x pour tout x > 0. Donnez les limites de g en 0 et en +∞.	8 pts	g'(x) = 2/x − 1 = (2 − x)/x ; g croissante sur ]0 ; 2], décroissante sur [2 ; +∞[ ; maximum g(2) = 2 ln 2 − 2 ≈ −0,61 < 0, donc g(x) < 0, soit 2 ln x < x. Limites : −∞ en 0 ; en +∞, g(x) = x(2 ln(x)/x − 1) tend vers −∞ (croissance comparée).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : propriétés des puissances et de exp, valeurs ln 1 = 0 et ln e = 1.
Pour aller plus loin : l'algorithme de Briggs (racines carrées successives) en Python.