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Séquence 2 · Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Comment calculer la probabilité d'obtenir k succès en n essais indépendants, et décider dans une situation de risque (surréservation) ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

épreuve de Bernoulli, succès, échecindépendanceschéma de Bernoullicoefficient binomial « k parmi n »loi binomiale B(n, p), espérance np, variance np(1 − p)

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Épreuve de Bernoulli
Expérience à deux issues : succès (probabilité p) et échec (1 − p).
Schéma de Bernoulli
Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Coefficient binomial
Nombre « k parmi n » de chemins de l'arbre comportant k succès.
Loi binomiale
Loi du nombre X de succès : P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ, pour k de 0 à n.
Espérance et variance
E(X) = np ; V(X) = np(1 − p).
Événement contraire
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1 − p)ⁿ.

Repères

DateÉvénement
1654Pascal, Traité du triangle arithmétique (coefficients binomiaux).
1657Huygens publie le premier traité de probabilités.
1713Ars Conjectandi de Jacques Bernoulli (posthume) : loi des grands nombres.
1867Inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Du schéma de Bernoulli à la loi binomiale

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Combien de chemins mènent à k succès ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · La loi binomiale

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité p) et échec (1 − p). Un schéma de Bernoulli répète n fois cette épreuve, de façon identique et indépendante : sur l'arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités. Un chemin avec k succès a pour probabilité pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, et il y a « k parmi n » tels chemins (coefficient binomial). Le nombre X de succès suit la loi binomiale B(n, p) : P(X = k) = (k parmi n) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ. Relation de Pascal : (k parmi n) + (k + 1 parmi n) = (k + 1 parmi n + 1). Espérance E(X) = np, variance V(X) = np(1 − p).

Document 1 · Le contrôle de trois pièces

Situation-problème.

Dans une production, 20 % des pièces sont défectueuses. On prélève successivement 3 pièces ; la production est assez grande pour assimiler les prélèvements à des tirages avec remise. On note X le nombre de pièces défectueuses.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Modéliser

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Construisez l'arbre.

  1. Pourquoi est-ce un schéma de Bernoulli ?
  2. Combien de chemins donnent X = 1 ? Probabilité de chacun ?
  3. P(X = 1) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Modélisation

Activité 2 · Calculer

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Établissez la loi de X.

  1. P(X = 0), P(X = 2), P(X = 3) ?
  2. Vérifiez que la somme vaut 1.
  3. E(X) par la définition, puis par np ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Loi et espérance

Activité 3 · Démontrer

15 min
Travail à rendre

Supports : Cours

Consigne :

Démontrez la relation de Pascal par un raisonnement sur les chemins (ou par le calcul avec les factorielles), puis construisez les 6 premières lignes du triangle de Pascal. Pour bien commencer : Un chemin à k succès sur n + 1 épreuves se termine soit par… · On en déduit que… · Chaque nombre du triangle est la somme de…

Ce qui est attendu (7 pts) : Démonstration · Triangle

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

binomialeindépendantesnp

Un schéma de Bernoulli répète n épreuves identiques et _____________. Le nombre de succès suit la loi _________ B(n, p). Son espérance est E(X) = ______.

Séance 2 · Problèmes de seuil : la surréservation

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Une compagnie peut-elle vendre plus de billets que de places ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Décider avec la loi binomiale

Les compagnies de transport savent qu'une partie des passagers ne se présente pas : elles vendent parfois plus de billets que de places (surréservation). Si chaque passager se présente avec une probabilité p, indépendamment des autres, le nombre X de passagers présents parmi n billets vendus suit B(n, p). Le risque de refuser des passagers est P(X > nombre de places). La calculatrice ou un algorithme donne les probabilités cumulées P(X ≤ k). Pour un seuil « au moins un succès », on passe par l'événement contraire : P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)ⁿ, puis on résout avec ln. L'hypothèse d'indépendance doit être discutée (groupes, familles).

Document 1 · Un petit avion de 50 places

Situation-problème.

Une compagnie dispose d'un avion de 50 places. Elle sait que chaque passager ayant réservé se présente à l'embarquement avec une probabilité 0,95, indépendamment des autres. Elle envisage de vendre 52 billets.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Modéliser

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Posez le modèle.

  1. Loi de X, nombre de passagers présents ?
  2. E(X) et V(X) ?
  3. Quel événement correspond à un problème d'embarquement ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Modélisation

Activité 2 · Calculer

18 min
Approfondissement

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Calculez (calculatrice).

  1. P(X = 52) et P(X = 51) ?
  2. Risque de surréservation ?
  3. Et avec 51 billets vendus ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Calculs et interprétation

Activité 3 · Programmer

15 min
Travail à rendre

Supports : Cours

Consigne :

Écrivez en Python une fonction qui, pour n billets vendus, calcule P(X > 50), puis déterminez le plus grand n tel que ce risque reste inférieur à 0,1. Rédigez une recommandation à la compagnie. Pour bien commencer : Ma fonction calcule P(X > 50) en… · Le plus grand n qui convient est… · Je recommande donc à la compagnie de…

Ce qui est attendu (7 pts) : Programme · Recommandation

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

binomialecontraireplaces

Le nombre de passagers présents suit une loi _________. Le risque de surréservation est P(X > nombre de ______). Pour « au moins un succès », on passe par l'événement _________.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

0binomialeindépendantesnp

Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et _____________.

Le nombre de succès suit une loi _________ B(n, p).

L'espérance d'une loi binomiale B(n, p) est E(X) = ______.

P(au moins un succès) = 1 − P(X = ______).

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :