Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Démontrer par récurrence une égalité, une inégalité ou une propriété de monotonie
- Déterminer la limite d'une suite (opérations, comparaison, suites géométriques)
- Utiliser le théorème de convergence monotone et étudier une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ)
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Maurolico, *Arithmeticorum libri duo* (1575) : premières récurrences
- Pascal, *Traité du triangle arithmétique* (1654)
- Peano, *Arithmetices principia* (1889)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Capacité attendue : « Raisonner par récurrence pour établir une propriété d'une suite. »
Démonstration au programme : « Limite de (qn), après démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli. »
Histoire des mathématiques : « Véritable porte d'entrée sur l'infini, le raisonnement par récurrence a été formalisé comme principe fondamental de raisonnement par Pascal, et surtout par Peano et ses collaborateurs »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Récurrence
- Si P(n₀) est vraie et si, pour tout n ≥ n₀, P(n) entraîne P(n + 1), alors P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
- Convergence
- (uₙ) converge vers ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d'un certain rang.
- Comparaison
- Si uₙ ≥ vₙ et vₙ tend vers +∞, alors uₙ tend vers +∞.
- Gendarmes
- Si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ et (vₙ), (wₙ) tendent vers ℓ, alors uₙ tend vers ℓ.
- Suites géométriques
- qⁿ tend vers +∞ si q > 1, vers 0 si −1 < q < 1.
- Convergence monotone
- Toute suite croissante majorée converge ; toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1575 | Maurolico utilise un raisonnement de proche en proche sur les entiers. |
| 1654 | Pascal emploie explicitement la récurrence dans le Traité du triangle arithmétique. |
| 1821 | Cauchy, Cours d'analyse : définition des limites. |
| 1889 | Peano fait de la récurrence un axiome des entiers naturels. |
Les historiens en débat
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer en un nombre fini de lignes une infinité d'énoncés ; Pascal en donne la première formulation claire, Peano en fait un axiome. La notion de limite, longtemps intuitive, est rendue rigoureuse au XIXe siècle par Cauchy puis Weierstrass. Les suites récurrentes sont au coeur de la modélisation des évolutions discrètes. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain, Hachette, 1987.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
- Benoît Rittaud, Le Fabuleux Destin de √2, Le Pommier, 2006.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Le raisonnement par récurrence | 65 min | démontrer une propriété pour tout entier naturel |
| Séance 2 | Limites de suites | 65 min | déterminer une limite et justifier une convergence |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Le raisonnement par récurrence
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment être sûr que la formule est vraie pour n = 1 000 000 ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Démontrer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Initialisation et hérédité
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀ : initialisation, on vérifie P(n₀) ; hérédité, on suppose P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ quelconque (hypothèse de récurrence) et on démontre P(n + 1) ; conclusion, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀. Image : une file infinie de dominos. On l'utilise pour une formule explicite, une inégalité (inégalité de Bernoulli : (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour a > 0) ou des encadrements et la monotonie d'une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ), souvent avec les variations de f. Les deux étapes sont indispensables.
Document 1 · Le placement et la formule
Situation-problème.
Un capital de 2 000 € est placé ; chaque année on ajoute 100 € puis il rapporte 5 %. On note uₙ le capital après n années : u₀ = 2 000, uₙ₊₁ = 1,05(uₙ + 100). Un élève conjecture, à l'aide d'un tableur, que uₙ = 4 100 × 1,05ⁿ − 2 100.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Testez la conjecture.
- Calculez u₁ et u₂ par la relation de récurrence.✔ Corrigé :
u₁ = 2 205 ; u₂ = 2 420,25.
- Calculez‑les avec la formule conjecturée.✔ Corrigé :
4 100 × 1,05 − 2 100 = 2 205 ; 4 100 × 1,1025 − 2 100 = 2 420,25.
- Les tests suffisent‑ils ?✔ Corrigé :
Non : ils vérifient quelques valeurs, pas toutes.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Démontrer
18 minSupports : Cours
Rédigez la récurrence.
- Initialisation ?✔ Corrigé :
4 100 − 2 100 = 2 000 = u₀.
- Hérédité : si uₙ = 4 100 × 1,05ⁿ − 2 100, calculez uₙ₊₁.✔ Corrigé :
1,05(4 100 × 1,05ⁿ − 2 000) = 4 100 × 1,05ⁿ⁺¹ − 2 100.
- Démontrez l'inégalité de Bernoulli (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour a > 0.✔ Corrigé :
Hérédité : (1 + a)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + (n + 1)a + na² ≥ 1 + (n + 1)a.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la démonstration complète de la formule du capital, puis expliquez en 3 lignes pourquoi l'initialisation et l'hérédité sont toutes deux nécessaires. Pour bien commencer : Notons P(n) : « uₙ = … ». · Supposons P(n) vraie pour un entier n… · Sans initialisation, …
Énoncé de P(n) ; initialisation ; hérédité avec calcul juste ; conclusion ; contre‑exemple ou image des dominos pour justifier les deux étapes.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une démonstration par récurrence comporte une initialisation et une hérédité. Dans l'hérédité, on utilise l'hypothèse de récurrence. L'inégalité de Bernoulli permet d'étudier la limite de qⁿ.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Démontrer | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Limites de suites
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Vers quelle valeur se stabilise une population régulée ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Limites et théorèmes
(uₙ) tend vers +∞ si tout intervalle [A ; +∞[ contient tous les termes à partir d'un certain rang ; elle converge vers ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes à partir d'un certain rang. Opérations : somme, produit, quotient (attention aux formes indéterminées « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ », que l'on lève en factorisant par le terme dominant). Comparaison et gendarmes. Suites géométriques : grâce à Bernoulli, qⁿ tend vers +∞ si q > 1 ; vers 0 si −1 < q < 1. Convergence monotone : une suite croissante majorée converge. Si uₙ₊₁ = f(uₙ) converge vers ℓ et f est continue, alors ℓ = f(ℓ).
Document 1 · La réserve naturelle
Situation-problème.
Une réserve compte 1 000 oiseaux. Chaque année, 20 % des oiseaux disparaissent et 300 nouveaux oiseaux arrivent. On note uₙ l'effectif l'année n : u₀ = 1 000 et uₙ₊₁ = 0,8 uₙ + 300.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Conjecturez.
- u₁, u₂, u₃ ?✔ Corrigé :
1 100 ; 1 180 ; 1 244.
- Conjecture sur la limite (tableur jusqu'à n = 30) ?✔ Corrigé :
Les termes s'approchent de 1 500.
- Posez vₙ = uₙ − 1 500 : nature de (vₙ) ?✔ Corrigé :
vₙ₊₁ = 0,8 vₙ : géométrique de raison 0,8, v₀ = −500.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Déterminez les limites.
- uₙ = 1 500 − 500 × 0,8ⁿ.✔ Corrigé :
1 500 car 0,8ⁿ tend vers 0.
- n² − 3n.✔ Corrigé :
n(n − 3) : +∞.
- (3n² + 1)/(n² + n).✔ Corrigé :
3.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note pour le gestionnaire de la réserve (8 lignes) : effectif à long terme, et vérifiez que l'effectif reste toujours inférieur à 1 500. Pour bien commencer : La suite auxiliaire vₙ est géométrique… · On en déduit que uₙ = … · À long terme, l'effectif…
vₙ géométrique ; formule explicite ; limite 1 500 ; uₙ < 1 500 car 500 × 0,8ⁿ > 0 ; interprétation écologique ; modèle simplifié.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Si −1 < q < 1, qⁿ tend vers 0. Une suite croissante majorée converge. Pour lever une forme indéterminée, on factorise par le terme dominant. Si uₙ₊₁ = f(uₙ) converge vers ℓ et f est continue, ℓ = f(ℓ).
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une récurrence comporte une initialisation et une hérédité.
Si q > 1, la suite (qⁿ) tend vers +∞.
Si −1 < q < 1, la suite (qⁿ) tend vers 0.
Toute suite croissante et majorée converge.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Démontrez par récurrence que pour tout entier n ≥ 1, 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n². | 4 pts | Initialisation : 1 = 1². Hérédité : si la somme vaut n², en ajoutant 2n + 1 on obtient n² + 2n + 1 = (n + 1)². Conclusion. Initialisation (1 pt), hérédité (2 pts), conclusion (1 pt). |
| 2 | Déterminez les limites : uₙ = 3n² − 5n + 1 ; vₙ = (2n + 1)/(n + 3) ; wₙ = 5 × 0,8ⁿ + 2 ; tₙ = (cos n)/n. | 8 pts | +∞ (factoriser par n²) ; 2 ; 2 (0,8ⁿ tend vers 0) ; 0 par les gendarmes (−1/n ≤ tₙ ≤ 1/n). Deux points par limite justifiée. |
| 3 | Soit u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 0,5 uₙ + 3. Démontrez par récurrence que 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6, déduisez‑en que (uₙ) converge, puis déterminez sa limite. Pour bien commencer : *Je note P(n) la propriété…* · *Supposons P(n) vraie ; comme f est croissante, …* · *La suite étant croissante et majorée, …* | 8 pts | Initialisation : u₁ = 3,5, 0 ≤ 1 ≤ 3,5 ≤ 6. Hérédité : f(x) = 0,5x + 3 croissante, donc 0 ≤ uₙ ≤ uₙ₊₁ ≤ 6 entraîne 3 ≤ uₙ₊₁ ≤ uₙ₊₂ ≤ 6. Suite croissante majorée : convergente ; la limite ℓ vérifie ℓ = 0,5ℓ + 3, ℓ = 6. Récurrence (4 pts), convergence (2 pts), limite (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : limites de référence, factorisation par le terme dominant.
- Pour aller plus loin : suites adjacentes et approximation de √2 par la méthode de Héron.