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Séquence 4 · Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Comment décrire le comportement d'une fonction aux bornes, et prouver qu'une équation a une solution sans savoir la calculer ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

limite en un point, en ±∞asymptote horizontale, verticalecroissances comparées eˣ/xⁿ, x e^(−x)fonction continuethéorème des valeurs intermédiaires, dichotomie

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Limite infinie en +∞
f(x) tend vers +∞ si f(x) dépasse tout réel A pour x assez grand.
Asymptotes
y = L si f tend vers L en ±∞ ; x = a si f tend vers ±∞ en a.
Croissances comparées
En +∞, eˣ/xⁿ tend vers +∞ et xⁿe^(−x) vers 0 : l'exponentielle l'emporte.
Continuité
f est continue en a si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a ; toute fonction dérivable est continue.
TVI
Si f est continue sur [a ; b], tout réel k compris entre f(a) et f(b) a au moins un antécédent dans [a ; b].
Corollaire
Si de plus f est strictement monotone, cet antécédent est unique.

Repères

DateÉvénement
1817Bolzano démontre le théorème des valeurs intermédiaires.
1821Cauchy définit la continuité dans son Cours d'analyse.
années 1860Weierstrass formalise les limites avec les quantificateurs.
1872Weierstrass présente une fonction continue partout et dérivable nulle part.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Limites et asymptotes

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Que devient la vitesse d'un parachutiste au bout d'un long moment ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Limites de fonctions

On étend aux fonctions les notions de limite des suites : limite en ±∞ et en un réel a. Asymptotes : si f(x) tend vers L en +∞, la droite y = L est asymptote horizontale ; si f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers a, la droite x = a est asymptote verticale. Opérations sur les limites, avec les formes indéterminées levées par factorisation. Pour un quotient dont le dénominateur tend vers 0, on étudie son signe. Croissances comparées : en +∞, eˣ/xⁿ tend vers +∞, xⁿ e^(−x) tend vers 0. Composition : si u(x) tend vers b et v(X) tend vers L quand X tend vers b, alors v(u(x)) tend vers L.

Document 1 · Le parachutiste

Situation-problème.

La vitesse d'un parachutiste (en m/s), parachute fermé, est modélisée par v(t) = 50(1 − e^(−0,2t)), t en secondes.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Étudiez le modèle.

  1. v(0), v(10), v(30) ?
  2. Limite de v en +∞ ?
  3. Interprétation graphique ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez les limites.

  1. En +∞ : (x² + 1)/(2x² − x).
  2. En −∞ : x eˣ.
  3. En 1, par valeurs supérieures : 2/(x − 1).

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un paragraphe (8 lignes) pour un exposé : que signifie la « vitesse limite » du parachutiste, comment la lit‑on sur la courbe et dans la formule ? Pour bien commencer : La fonction v tend vers… quand t… · Graphiquement, cela se traduit par… · Physiquement, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

factorisanthorizontalepuissanceverticale

Si f(x) tend vers L en +∞, la droite y = L est une asymptote ___________. Si f(x) tend vers l'infini en a, la droite x = a est une asymptote _________. En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute _________ de x. On lève une forme indéterminée en ___________.

Séance 2 · Continuité et valeurs intermédiaires

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Une équation a‑t‑elle une solution si on ne sait pas la résoudre ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Théorème des valeurs intermédiaires

f est continue en a si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a ; graphiquement, la courbe se trace « sans lever le crayon ». Les fonctions usuelles (polynômes, exp, ln, racine, quotients sur leur ensemble de définition) sont continues ; toute fonction dérivable est continue. Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a ; b], pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a au moins une solution dans [a ; b]. Corollaire : si de plus f est strictement monotone, la solution est unique. Dichotomie : on coupe [a ; b] en deux, on garde la moitié où f change de signe, et on recommence ; après n étapes, l'amplitude est (b − a)/2ⁿ.

Document 1 · Le seuil de rentabilité

Situation-problème.

Une entreprise modélise son résultat (en milliers d'euros) par R(x) = x³ − 6x² + 15x − 12 pour x milliers d'objets produits, avec 0 ≤ x ≤ 5. Elle cherche la production à partir de laquelle elle est bénéficiaire.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Explorez.

  1. R(0), R(1), R(2) ?
  2. Calculez R'(x) et son signe.
  3. Pourquoi l'équation R(x) = 0 a‑t‑elle une unique solution α dans [1 ; 2] ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · Programmer

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez une fonction Python dichotomie(f, a, b, e) qui, tant que b − a > e, calcule le milieu m, garde [a ; m] si f(a) et f(m) sont de signes contraires, sinon [m ; b].

  1. Combien d'étapes pour passer de l'amplitude 1 à 0,001 ?
  2. Encadrement de α à 10⁻² ?
  3. Pourquoi le test sur le signe de f(a) × f(m) ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la réponse à l'entreprise (8 lignes) : existence et unicité du seuil, valeur approchée, interprétation en nombre d'objets. Pour bien commencer : La fonction R est continue et strictement… · D'après le corollaire du TVI, … · L'entreprise est bénéficiaire à partir de…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

a ; bantécédentcontinuedeuxmonotone

Toute fonction dérivable est ________. Si f est continue sur ______, tout k compris entre f(a) et f(b) a au moins un __________. Si f est de plus strictement ________, il est unique. La dichotomie divise l'amplitude par ______ à chaque étape.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

+∞a ; bdichotomiehorizontaleunique

Si f(x) tend vers L quand x tend vers +∞, la droite y = L est une asymptote ___________.

En +∞, eˣ/x tend vers ______ (croissances comparées).

Si f est continue et strictement monotone sur ______ et k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une ______ solution.

La __________ divise l'intervalle de recherche par deux à chaque étape.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :