Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Déterminer des limites (opérations, croissances comparées, composition) et interpréter les asymptotes
- Connaître la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires, cas strictement monotone
- Approcher une solution par dichotomie en Python
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Bolzano, démonstration du théorème des valeurs intermédiaires (1817)
- Cauchy, *Cours d'analyse de l'École royale polytechnique* (1821)
- Weierstrass : définition « epsilon » des limites (années 1860)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Démonstration au programme : « Démonstration par dichotomie du théorème des valeurs intermédiaires. »
Cadre : « La justification de la continuité ou de la dérivabilité d'une fonction sur un intervalle n'est pas un objectif du programme. »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Limite infinie en +∞
- f(x) tend vers +∞ si f(x) dépasse tout réel A pour x assez grand.
- Asymptotes
- y = L si f tend vers L en ±∞ ; x = a si f tend vers ±∞ en a.
- Croissances comparées
- En +∞, eˣ/xⁿ tend vers +∞ et xⁿe^(−x) vers 0 : l'exponentielle l'emporte.
- Continuité
- f est continue en a si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a ; toute fonction dérivable est continue.
- TVI
- Si f est continue sur [a ; b], tout réel k compris entre f(a) et f(b) a au moins un antécédent dans [a ; b].
- Corollaire
- Si de plus f est strictement monotone, cet antécédent est unique.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1817 | Bolzano démontre le théorème des valeurs intermédiaires. |
| 1821 | Cauchy définit la continuité dans son Cours d'analyse. |
| années 1860 | Weierstrass formalise les limites avec les quantificateurs. |
| 1872 | Weierstrass présente une fonction continue partout et dérivable nulle part. |
Les historiens en débat
Pendant longtemps, la continuité a été une évidence géométrique : une courbe qu'on trace sans lever le crayon. Bolzano et Cauchy en donnent des définitions par les limites et démontrent le théorème des valeurs intermédiaires ; la dichotomie, qui en fournit la preuve, est aussi un algorithme de calcul efficace. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Ivar Ekeland, Le Calcul, l'imprévu, Seuil, 1984.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Limites et asymptotes | 65 min | calculer des limites et les interpréter graphiquement |
| Séance 2 | Continuité et valeurs intermédiaires | 65 min | prouver l'existence d'une solution et l'approcher |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Limites et asymptotes
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Que devient la vitesse d'un parachutiste au bout d'un long moment ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Limites de fonctions
On étend aux fonctions les notions de limite des suites : limite en ±∞ et en un réel a. Asymptotes : si f(x) tend vers L en +∞, la droite y = L est asymptote horizontale ; si f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers a, la droite x = a est asymptote verticale. Opérations sur les limites, avec les formes indéterminées levées par factorisation. Pour un quotient dont le dénominateur tend vers 0, on étudie son signe. Croissances comparées : en +∞, eˣ/xⁿ tend vers +∞, xⁿ e^(−x) tend vers 0. Composition : si u(x) tend vers b et v(X) tend vers L quand X tend vers b, alors v(u(x)) tend vers L.
Document 1 · Le parachutiste
Situation-problème.
La vitesse d'un parachutiste (en m/s), parachute fermé, est modélisée par v(t) = 50(1 − e^(−0,2t)), t en secondes.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Étudiez le modèle.
- v(0), v(10), v(30) ?✔ Corrigé :
0 ; ≈ 43,2 ; ≈ 49,9 m/s.
- Limite de v en +∞ ?✔ Corrigé :
e^(−0,2t) tend vers 0, donc 50.
- Interprétation graphique ?✔ Corrigé :
Asymptote horizontale y = 50 : vitesse limite de 50 m/s, soit 180 km/h.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez les limites.
- En +∞ : (x² + 1)/(2x² − x).✔ Corrigé :
1/2.
- En −∞ : x eˣ.✔ Corrigé :
0 (croissances comparées avec X = −x).
- En 1, par valeurs supérieures : 2/(x − 1).✔ Corrigé :
+∞ : asymptote x = 1.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un paragraphe (8 lignes) pour un exposé : que signifie la « vitesse limite » du parachutiste, comment la lit‑on sur la courbe et dans la formule ? Pour bien commencer : La fonction v tend vers… quand t… · Graphiquement, cela se traduit par… · Physiquement, …
Limite 50 justifiée ; asymptote horizontale ; v(t) < 50 pour tout t ; interprétation (frottements de l'air) ; vocabulaire précis.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Si f(x) tend vers L en +∞, la droite y = L est une asymptote horizontale. Si f(x) tend vers l'infini en a, la droite x = a est une asymptote verticale. En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x. On lève une forme indéterminée en factorisant.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Continuité et valeurs intermédiaires
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Une équation a‑t‑elle une solution si on ne sait pas la résoudre ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Programmer) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Théorème des valeurs intermédiaires
f est continue en a si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a ; graphiquement, la courbe se trace « sans lever le crayon ». Les fonctions usuelles (polynômes, exp, ln, racine, quotients sur leur ensemble de définition) sont continues ; toute fonction dérivable est continue. Théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a ; b], pour tout k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a au moins une solution dans [a ; b]. Corollaire : si de plus f est strictement monotone, la solution est unique. Dichotomie : on coupe [a ; b] en deux, on garde la moitié où f change de signe, et on recommence ; après n étapes, l'amplitude est (b − a)/2ⁿ.
Document 1 · Le seuil de rentabilité
Situation-problème.
Une entreprise modélise son résultat (en milliers d'euros) par R(x) = x³ − 6x² + 15x − 12 pour x milliers d'objets produits, avec 0 ≤ x ≤ 5. Elle cherche la production à partir de laquelle elle est bénéficiaire.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Explorez.
- R(0), R(1), R(2) ?✔ Corrigé :
−12 ; −2 ; 2.
- Calculez R'(x) et son signe.✔ Corrigé :
3x² − 12x + 15 = 3(x² − 4x + 5) ; discriminant −4 < 0, donc R' > 0 : R strictement croissante.
- Pourquoi l'équation R(x) = 0 a‑t‑elle une unique solution α dans [1 ; 2] ?✔ Corrigé :
R continue, strictement croissante, R(1) < 0 < R(2).
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Programmer
18 minSupports : Cours
Étudiez une fonction Python dichotomie(f, a, b, e) qui, tant que b − a > e, calcule le milieu m, garde [a ; m] si f(a) et f(m) sont de signes contraires, sinon [m ; b].
- Combien d'étapes pour passer de l'amplitude 1 à 0,001 ?✔ Corrigé :
2¹⁰ = 1 024 > 1 000 : 10 étapes.
- Encadrement de α à 10⁻² ?✔ Corrigé :
1,40 < α < 1,41 environ.
- Pourquoi le test sur le signe de f(a) × f(m) ?✔ Corrigé :
Il indique dans quelle moitié f change de signe.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la réponse à l'entreprise (8 lignes) : existence et unicité du seuil, valeur approchée, interprétation en nombre d'objets. Pour bien commencer : La fonction R est continue et strictement… · D'après le corollaire du TVI, … · L'entreprise est bénéficiaire à partir de…
Continuité, stricte croissance, changement de signe ; unicité ; encadrement 1,40 à 1,41 ; environ 1 400 à 1 410 objets ; rédaction rigoureuse.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Toute fonction dérivable est continue. Si f est continue sur a ; b, tout k compris entre f(a) et f(b) a au moins un antécédent. Si f est de plus strictement monotone, il est unique. La dichotomie divise l'amplitude par deux à chaque étape.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · Programmer | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Si f(x) tend vers L quand x tend vers +∞, la droite y = L est une asymptote horizontale.
En +∞, eˣ/x tend vers +∞ (croissances comparées).
Si f est continue et strictement monotone sur a ; b et k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k a une unique solution.
La dichotomie divise l'intervalle de recherche par deux à chaque étape.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Déterminez les limites : en +∞ de (2x² + 1)/(x² − 3) ; en 0 par valeurs positives de 1/x + 2 ; en +∞ de x e^(−x) ; en −∞ de x³ − x. | 4 pts | 2 ; +∞ ; 0 (croissances comparées) ; −∞. Un point par limite. |
| 2 | Soit f(x) = (3x − 1)/(x − 2) sur ]2 ; +∞[. Étudiez les limites en 2 et en +∞ et donnez les asymptotes. | 8 pts | En 2 : numérateur tend vers 5, dénominateur vers 0 par valeurs positives : +∞, asymptote x = 2. En +∞ : 3, asymptote y = 3. Quatre points par borne (limite et interprétation). |
| 3 | Montrez que l'équation x³ + x − 1 = 0 a une unique solution α dans [0 ; 1], puis donnez un encadrement d'amplitude 10⁻² par dichotomie (programme Python ou calculatrice). Pour bien commencer : *La fonction f est continue et…* · *D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, …* · *La dichotomie donne…* | 8 pts | f(x) = x³ + x − 1 est continue, f'(x) = 3x² + 1 > 0 donc strictement croissante ; f(0) = −1 < 0 < f(1) = 1 : unique solution par le corollaire du TVI. Dichotomie : 0,68 < α < 0,69. Hypothèses (4 pts), encadrement (4 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : limites de référence, signe d'un dénominateur au voisinage d'une valeur.
- Pour aller plus loin : méthode de Newton et comparaison de vitesse avec la dichotomie.