Dérivée d'une composée, dérivée seconde et convexité · version élève

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Dériver une fonction composée, calculer une dérivée seconde
Définir la convexité et la reconnaître par f'' ou la croissance de f'
Déterminer un point d'inflexion et démontrer des inégalités par convexité

Les mots importants

fonction composée v ∘ u, (v ∘ u)' = (v' ∘ u) × u'dérivée seconde f''fonction convexe, concaveposition par rapport aux tangentes et aux sécantespoint d'inflexion

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Composée: (v ∘ u)(x) = v(u(x)) ; (v ∘ u)' = (v' ∘ u) × u'.
Cas usuels: (e^u)' = u'e^u ; (uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹ ; (√u)' = u'/(2√u).
Dérivée seconde: f'' est la dérivée de f'.
Convexité: f est convexe sur I si sa courbe est sous ses sécantes ; pour f deux fois dérivable, cela équivaut à f' croissante, à f'' ≥ 0, à la courbe au‑dessus de ses tangentes.
Concavité: f est concave si −f est convexe (f'' ≤ 0).
Point d'inflexion: Point où la courbe traverse sa tangente ; f'' s'y annule en changeant de signe.

Repères

Date	Événement
1684	Leibniz publie la Nova methodus : règles du calcul différentiel.
1838	Verhulst propose le modèle logistique, dont la courbe a un point d'inflexion.
1906	Jensen publie l'inégalité de convexité qui porte son nom.
2020	La notion de point d'inflexion d'une courbe épidémique est largement commentée dans les médias.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
Lire · définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Ivar Ekeland, Le Calcul, l'imprévu, Seuil, 1984.
Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.
Jordan Ellenberg, How Not to Be Wrong, Penguin Press, 2014.

Mon parcours : je choisis mon rythme

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Séance 1 · Dériver une composée

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Comment dériver e^(−0,5x²) ?

Mon plan de travail

10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.

Le cours à lire · Composition et dérivation

La composée v ∘ u est la fonction x ↦ v(u(x)) : on applique u, puis v. Si u est dérivable sur I et v dérivable sur un intervalle contenant u(I), alors (v ∘ u)' = (v' ∘ u) × u'. Cas usuels : (e^u)' = u' e^u, (uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹, (√u)' = u'/(2√u) pour u > 0, (ln u)' = u'/u pour u > 0, x ↦ f(ax + b) a pour dérivée a f'(ax + b). On identifie toujours la fonction « intérieure » u avant de dériver.

Document 1 · La courbe en cloche

Situation-problème.

En statistique, on rencontre la fonction f(x) = e^(−0,5x²), dont la courbe en cloche décrit la répartition de nombreuses mesures (tailles, erreurs de mesure).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Décomposez puis dérivez.

Identifiez u et v.
Calculez f'(x).
Variations de f ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Dérivez.

(2x + 3)⁴.
√(4 − x).
e^(3x − 1) × x.

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Expliquez en 8 lignes, pour un élève qui hésite, comment dériver h(x) = (x² + 1)³ par deux méthodes (composée, développement) et vérifiez l'accord. Pour bien commencer : Je repère la fonction intérieure… · Avec la formule de la composée, … · En développant, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

a f'(ax + b)intérieureu'u' e^u

La dérivée de v ∘ u est (v' ∘ u) × ______. La dérivée de e^u est ______. Avant de dériver, on identifie la fonction __________. La dérivée de x ↦ f(ax + b) est x ↦ ____________.

Séance 2 · Convexité et point d'inflexion

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quand une épidémie commence‑t‑elle à ralentir ?

Mon plan de travail

10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.

Le cours à lire · Convexité

f est convexe sur I si sa courbe est située sous ses sécantes entre les deux points ; pour f deux fois dérivable, on admet l'équivalence avec : f' croissante, f'' ≥ 0, courbe au‑dessus de ses tangentes. f est concave si f'' ≤ 0 (courbe sous ses tangentes). Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : f'' s'y annule en changeant de signe. Applications : inégalités (eˣ ≥ 1 + x, ln x ≤ x − 1) et lecture d'un phénomène : pour une croissance, le passage de convexe à concave marque l'instant où la vitesse de croissance est maximale.

Document 1 · Diffusion d'une application

Situation-problème.

Le nombre d'utilisateurs (en milliers) d'une application, t semaines après son lancement, est modélisé par N(t) = 100/(1 + 99 e^(−0,5t)). Le graphique de N et celui de N' sont déposés sur l'ENT.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lisez les graphiques.

Sur quel intervalle N' est‑elle croissante ?
Où N semble‑t‑elle changer de convexité ?
Interprétation ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez la convexité.

f(x) = x³ : convexité et inflexion.
f(x) = x e^x : f'' ?
Montrez que ln x ≤ x − 1 pour x > 0.

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un court article (8 lignes) pour le journal du lycée : « Qu'est‑ce qu'un point d'inflexion et pourquoi en parle‑t‑on pour une diffusion ? » en vous appuyant sur l'exemple de l'application. Pour bien commencer : Avant le point d'inflexion, la courbe est… · Au point d'inflexion, la vitesse de croissance… · Après, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

concaveconvexesignetangentes

Si f'' est positive, f est _______. Une fonction convexe a sa courbe au‑dessus de ses _________. En un point d'inflexion, f'' s'annule en changeant de ______. La fonction ln est _______.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

au‑dessusconvexeinflexionu'(x) e^(u(x))

La dérivée de x ↦ e^(u(x)) est x ↦ ______________.

Si f'' est positive sur un intervalle, f y est _______.

Une fonction convexe a une courbe située _________ de ses tangentes.

En un point d'_________, la courbe traverse sa tangente.

Ce que j'ai appris

Dériver une fonction composée, calculer une dérivée seconde
Définir la convexité et la reconnaître par f'' ou la croissance de f'
Déterminer un point d'inflexion et démontrer des inégalités par convexité

Les 3 idées que je retiens :

Une méthode ou une formule que je veux retenir :

Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :