Dérivée d'une composée, dérivée seconde et convexité · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée général · Terminale

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de spécialité de mathématiques de Terminale générale, BO spécial n°8 du 25 juillet 2019, applicable en 2026-2027 ; le nouveau programme entre en Terminale à la rentrée 2027.

Place dans le programmeProgramme de spécialité de mathématiques de terminale générale (BO spécial n°8 du 25 juillet 2019, applicable en terminale en 2026-2027 ; le nouveau programme du BO du 2 avril 2026 entre en terminale à la rentrée 2027), partie « Analyse », section « Compléments sur la dérivation »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Dériver une fonction composée, calculer une dérivée seconde
Définir la convexité et la reconnaître par f'' ou la croissance de f'
Déterminer un point d'inflexion et démontrer des inégalités par convexité

Capacités travaillées (BO)

Chercher, expérimenter (outils numériques)
Modéliser une situation
Représenter, changer de registre
Raisonner, démontrer
Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
Communiquer un résultat, expliquer une démarche

Notions et définitions

fonction composée v ∘ u, (v ∘ u)' = (v' ∘ u) × u'dérivée seconde f''fonction convexe, concaveposition par rapport aux tangentes et aux sécantespoint d'inflexion

Repères historiques

Leibniz, notation différentielle (1684)
Jensen, inégalité de convexité (1906)
Courbes logistiques de Verhulst (1838)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Capacité attendue : « Démontrer des inégalités en utilisant la convexité d'une fonction. »

Orientation : « L'étude des fonctions convexes permet de réinvestir et d'enrichir le travail entamé en classe de première sur les dérivées. »

Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »

Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).

Notions : définitions rigoureuses

Composée: (v ∘ u)(x) = v(u(x)) ; (v ∘ u)' = (v' ∘ u) × u'.
Cas usuels: (e^u)' = u'e^u ; (uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹ ; (√u)' = u'/(2√u).
Dérivée seconde: f'' est la dérivée de f'.
Convexité: f est convexe sur I si sa courbe est sous ses sécantes ; pour f deux fois dérivable, cela équivaut à f' croissante, à f'' ≥ 0, à la courbe au‑dessus de ses tangentes.
Concavité: f est concave si −f est convexe (f'' ≤ 0).
Point d'inflexion: Point où la courbe traverse sa tangente ; f'' s'y annule en changeant de signe.

Repères

Date	Événement
1684	Leibniz publie la Nova methodus : règles du calcul différentiel.
1838	Verhulst propose le modèle logistique, dont la courbe a un point d'inflexion.
1906	Jensen publie l'inégalité de convexité qui porte son nom.
2020	La notion de point d'inflexion d'une courbe épidémique est largement commentée dans les médias.

Les historiens en débat

La convexité formalise une idée visuelle : une courbe « tournée vers le haut ». Elle relie dérivées premières et secondes à des inégalités puissantes, de Jensen à l'économie (rendements décroissants). Le point d'inflexion, où la croissance cesse d'accélérer, est un indicateur précieux pour lire un phénomène de diffusion. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie générale (éduscol).
Lire · définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Ivar Ekeland, Le Calcul, l'imprévu, Seuil, 1984.
Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.
Jordan Ellenberg, How Not to Be Wrong, Penguin Press, 2014.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Dériver une composée	65 min	calculer la dérivée de fonctions composées
Séance 2	Convexité et point d'inflexion	65 min	étudier la convexité et l'interpréter
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Dériver une composée

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment dériver e^(−0,5x²) ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Composition et dérivation

La composée v ∘ u est la fonction x ↦ v(u(x)) : on applique u, puis v. Si u est dérivable sur I et v dérivable sur un intervalle contenant u(I), alors (v ∘ u)' = (v' ∘ u) × u'. Cas usuels : (e^u)' = u' e^u, (uⁿ)' = n u' uⁿ⁻¹, (√u)' = u'/(2√u) pour u > 0, (ln u)' = u'/u pour u > 0, x ↦ f(ax + b) a pour dérivée a f'(ax + b). On identifie toujours la fonction « intérieure » u avant de dériver.

Document 1 · La courbe en cloche

Situation-problème.

En statistique, on rencontre la fonction f(x) = e^(−0,5x²), dont la courbe en cloche décrit la répartition de nombreuses mesures (tailles, erreurs de mesure).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Décomposez puis dérivez.

Identifiez u et v.
✔ Corrigé :
u(x) = −0,5x², v = exp.
Calculez f'(x).
✔ Corrigé :
−x e^(−0,5x²).
Variations de f ?
✔ Corrigé :
Croissante sur ]−∞ ; 0], décroissante sur [0 ; +∞[, maximum 1 en 0.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Dérivez.

(2x + 3)⁴.
✔ Corrigé :
8(2x + 3)³.
√(4 − x).
✔ Corrigé :
−1/(2√(4 − x)).
e^(3x − 1) × x.
✔ Corrigé :
e^(3x − 1)(3x + 1).

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Expliquez en 8 lignes, pour un élève qui hésite, comment dériver h(x) = (x² + 1)³ par deux méthodes (composée, développement) et vérifiez l'accord. Pour bien commencer : Je repère la fonction intérieure… · Avec la formule de la composée, … · En développant, …

✔ Corrigé rédigé :

u = x² + 1, h' = 6x(x² + 1)² ; développement x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 1, dérivée 6x⁵ + 12x³ + 6x = 6x(x² + 1)² ; accord ; conseil sur la méthode la plus efficace.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

La dérivée de v ∘ u est (v' ∘ u) × u'. La dérivée de e^u est u' e^u. Avant de dériver, on identifie la fonction intérieure. La dérivée de x ↦ f(ax + b) est x ↦ a f'(ax + b).

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · S'entraîner	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Convexité et point d'inflexion

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quand une épidémie commence‑t‑elle à ralentir ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Convexité

f est convexe sur I si sa courbe est située sous ses sécantes entre les deux points ; pour f deux fois dérivable, on admet l'équivalence avec : f' croissante, f'' ≥ 0, courbe au‑dessus de ses tangentes. f est concave si f'' ≤ 0 (courbe sous ses tangentes). Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : f'' s'y annule en changeant de signe. Applications : inégalités (eˣ ≥ 1 + x, ln x ≤ x − 1) et lecture d'un phénomène : pour une croissance, le passage de convexe à concave marque l'instant où la vitesse de croissance est maximale.

Document 1 · Diffusion d'une application

Situation-problème.

Le nombre d'utilisateurs (en milliers) d'une application, t semaines après son lancement, est modélisé par N(t) = 100/(1 + 99 e^(−0,5t)). Le graphique de N et celui de N' sont déposés sur l'ENT.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lisez les graphiques.

Sur quel intervalle N' est‑elle croissante ?
✔ Corrigé :
Environ sur [0 ; 9,2].
Où N semble‑t‑elle changer de convexité ?
✔ Corrigé :
Vers t ≈ 9,2, où N vaut environ 50.
Interprétation ?
✔ Corrigé :
C'est le moment où les inscriptions sont les plus rapides ; ensuite elles ralentissent.

Critère de réussite	Points
Résultats justes et justifiés	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · S'entraîner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez la convexité.

f(x) = x³ : convexité et inflexion.
✔ Corrigé :
f'' = 6x : concave sur les négatifs, convexe sur les positifs, inflexion en 0.
f(x) = x e^x : f'' ?
✔ Corrigé :
(x + 2)eˣ : inflexion en −2.
Montrez que ln x ≤ x − 1 pour x > 0.
✔ Corrigé :
ln concave (ln'' = −1/x² < 0), sous sa tangente en 1 : y = x − 1.

Critère de réussite	Points
Méthode et résultats	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un court article (8 lignes) pour le journal du lycée : « Qu'est‑ce qu'un point d'inflexion et pourquoi en parle‑t‑on pour une diffusion ? » en vous appuyant sur l'exemple de l'application. Pour bien commencer : Avant le point d'inflexion, la courbe est… · Au point d'inflexion, la vitesse de croissance… · Après, …

✔ Corrigé rédigé :

Convexe puis concave ; N' maximale au point d'inflexion ; valeur approchée t ≈ 9 semaines ; vocabulaire exact ; prudence sur le modèle.

Critère de réussite	Points
Raisonnement	5
Rédaction	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Si f'' est positive, f est convexe. Une fonction convexe a sa courbe au‑dessus de ses tangentes. En un point d'inflexion, f'' s'annule en changeant de signe. La fonction ln est concave.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · Chercher	6
Activité 2 · S'entraîner	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

La dérivée de x ↦ e^(u(x)) est x ↦ u'(x) e^(u(x)).

Si f'' est positive sur un intervalle, f y est convexe.

Une fonction convexe a une courbe située au‑dessus de ses tangentes.

En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Dérivez : f(x) = (3x − 1)⁵ ; g(x) = e^(x²) ; h(x) = √(1 + x²).	4 pts	15(3x − 1)⁴ ; 2x e^(x²) ; x/√(1 + x²). Un point, un point et demi, un point et demi.
2	Soit f(x) = x³ − 3x² + 2. Calculez f'', étudiez la convexité de f et donnez le point d'inflexion avec l'équation de la tangente en ce point.	8 pts	f'(x) = 3x² − 6x, f''(x) = 6x − 6 : concave sur ]−∞ ; 1], convexe sur [1 ; +∞[ ; inflexion en (1 ; 0) ; tangente y = −3(x − 1) = −3x + 3. Dérivée seconde (2 pts), convexité (3 pts), inflexion et tangente (3 pts).
3	Démontrez que pour tout réel x, eˣ ≥ 1 + x, en utilisant la convexité de l'exponentielle, puis déduisez‑en que e^(−x) ≥ 1 − x. Rédigez. Pour bien commencer : La fonction exponentielle est convexe car… · Sa tangente en 0 a pour équation… · En remplaçant x par −x, …	8 pts	exp'' = exp > 0 : convexe, donc la courbe est au‑dessus de sa tangente en 0, d'équation y = 1 + x. En remplaçant x par −x, e^(−x) ≥ 1 − x. Convexité (3 pts), tangente (3 pts), déduction (2 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : dérivées usuelles, équation d'une tangente.
Pour aller plus loin : inégalité arithmético‑géométrique par la concavité de ln.