Version élève → Mathématiques · Lycée général · Tle · Terminale

Séquence 6 · Primitives et équations différentielles y' = ay + b

Connaissant la vitesse à laquelle une grandeur varie, peut‑on retrouver la grandeur elle‑même ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

primitive d'une fonction continueprimitives de référenceéquation différentielley' = ay : solutions C e^(ax)y' = ay + b : solution constante −b/a

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Primitive
F est une primitive de f sur I si F est dérivable et F' = f.
Ensemble des primitives
Si F est une primitive, les autres sont F + C, C constante.
Primitives de référence
xⁿ ↦ xⁿ⁺¹/(n + 1) (n ≠ −1) ; 1/x ↦ ln x ; eˣ ↦ eˣ ; u'eᵘ ↦ eᵘ ; u'/u ↦ ln u (u > 0) ; u'uⁿ ↦ uⁿ⁺¹/(n + 1).
Équation différentielle
Équation dont l'inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à ses dérivées.
y' = ay
Solutions x ↦ C e^(ax), C réel.
y' = ay + b
Solutions x ↦ C e^(ax) − b/a (a ≠ 0) ; une condition initiale fixe C.

Repères

DateÉvénement
1671Newton rédige la Méthode des fluxions (publiée en 1736).
1675Leibniz introduit le signe ∫ dans ses manuscrits.
1701Newton publie anonymement la loi du refroidissement.
1768Euler propose une méthode d'approximation des solutions.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Primitives

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Connaissant la vitesse, retrouver la position

Mon plan de travail

Le cours à lire · Primitives

F est une primitive de f sur I si F' = f : c'est l'opération inverse de la dérivation, et une solution de l'équation différentielle y' = f. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives (démontré avec les intégrales). Si F est une primitive, les autres sont F + C : une condition initiale F(x₀) = y₀ en sélectionne une seule. On lit les primitives de référence à l'envers du tableau des dérivées, et les formes composées : u'eᵘ a pour primitive eᵘ ; u'/u a pour primitive ln u si u > 0 ; u'uⁿ a pour primitive uⁿ⁺¹/(n + 1). Certaines fonctions, comme e^(−x²), n'ont pas de primitive exprimable avec les fonctions usuelles.

Document 1 · Le vélo électrique

Situation-problème.

Un vélo électrique démarre ; sa vitesse (en m/s) est v(t) = 0,6t pendant les 10 premières secondes. On note d(t) la distance parcourue depuis le départ, avec d(0) = 0.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Retrouvez la distance.

  1. Quel lien entre d et v ?
  2. Proposez une primitive de v.
  3. Distance après 10 s ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Déterminez une primitive.

  1. 4x³ − 2x + 5.
  2. 3e^(3x) et e^(−x).
  3. (2x + 1)(x² + x)⁴.

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Expliquez (8 lignes) pourquoi une fonction a une infinité de primitives et comment une condition initiale permet de n'en garder qu'une, en reprenant l'exemple du vélo. Pour bien commencer : Si F est une primitive, alors F + C… · Car la dérivée d'une constante… · Dans l'exemple du vélo, la condition…

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

conditionconstanteeᵘf

F est une primitive de f si F' = ______. Deux primitives diffèrent d'une _________. Une primitive de u'eᵘ est ______. Une _________ initiale permet de choisir une seule primitive.

Séance 2 · Les équations y' = ay et y' = ay + b

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

À quelle vitesse un café refroidit‑il ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Équations linéaires du premier ordre

y' = ay (a réel) : les solutions sont les fonctions x ↦ C e^(ax). Démonstration : si f est solution, (f(x) e^(−ax))' = f'(x)e^(−ax) − a f(x)e^(−ax) = 0, donc f(x)e^(−ax) est constant. y' = ay + b (a ≠ 0) : la fonction constante −b/a est solution ; f est solution si et seulement si f + b/a est solution de y' = ay ; les solutions sont donc x ↦ C e^(ax) − b/a. Une condition initiale y(x₀) = y₀ détermine C. Si a < 0, toutes les solutions tendent vers la constante −b/a : c'est l'équilibre du système (température ambiante, tension finale, vitesse limite).

Document 1 · La charge d'un condensateur

Situation-problème.

Dans un circuit RC, la tension u (en V) aux bornes d'un condensateur vérifie u' = −2u + 24 (t en secondes), et u(0) = 0.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Chercher

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Résolvez.

  1. Solution constante ?
  2. Solutions de l'équation ?
  3. Avec u(0) = 0 ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés

Activité 2 · S'entraîner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez.

  1. y' = 3y, y(0) = 2.
  2. y' + 0,5y = 4.
  3. Limite de u en +∞ ? Instant où u = 11,9 V ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats

Activité 3 · Démontrer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Démontrez que les solutions de y' = ay sont les fonctions C e^(ax), puis rédigez l'étude du café de 80 °C dans une pièce à 20 °C avec T' = −0,1(T − 20) (8 à 10 lignes). Pour bien commencer : Soit f une solution ; je considère g(x) = f(x) e^(−ax)… · g' est nulle, donc… · Pour le café, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

axconstanteéquilibre−b/a

Les solutions de y' = ay sont les fonctions C e^(______). La fonction constante ______ est solution de y' = ay + b. Une condition initiale détermine la _________ C. Si a < 0, les solutions tendent vers l'_________.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

C e^(ax)constantef−b/a

F est une primitive de f si F' = ______.

Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une _________.

Les solutions de y' = ay sont les fonctions x ↦ ________.

La solution constante de y' = ay + b est y = ______.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :