Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Utiliser le produit scalaire dans l'espace pour démontrer une orthogonalité
- Déterminer une représentation paramétrique de droite et une équation cartésienne de plan à partir d'un vecteur normal
- Calculer une intersection, un projeté orthogonal et une distance
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Produit scalaire dans l'espace
- En repère orthonormé, u · v = xx' + yy' + zz' et ‖u‖ = √(x² + y² + z²).
- Représentation paramétrique
- x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct, t réel, pour la droite passant par A dirigée par u(a ; b ; c).
- Vecteur normal
- Vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
- Équation cartésienne
- Le plan passant par A de vecteur normal n(a ; b ; c) a une équation ax + by + cz + d = 0.
- Orthogonalité droite et plan
- Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est normal au plan.
- Projeté orthogonal
- Point H du plan tel que AH soit normal au plan ; c'est le point du plan le plus proche de A.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide consacre le livre XI des Éléments aux solides et aux plans. |
| 1773 | Lagrange traite des pyramides par les coordonnées. |
| 1799 | Monge publie la Géométrie descriptive. |
| 1844 | Grassmann étend le calcul vectoriel aux dimensions supérieures. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
- Richard Courant et Herbert Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Droites et plans de l'espace
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Un avion en montée traversera‑t‑il la couche nuageuse ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Dans un repère orthonormé de l'espace, la droite passant par A et dirigée par u(a ; b ; c) a pour représentation paramétrique x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct (t réel) : à chaque t correspond un point. Un vecteur normal n à un plan est orthogonal à tous ses vecteurs ; le plan passant par A et de vecteur normal n(a ; b ; c) est l'ensemble des M tels que AM · n = 0, d'où une équation cartésienne ax + by + cz + d = 0. Réciproquement, une telle équation définit un plan de vecteur normal (a ; b ; c). Pour l'intersection d'une droite et d'un plan, on reporte la représentation paramétrique dans l'équation et on résout en t.
Document 1 · Le décollage
Situation-problème.
Dans un repère orthonormé (unité : km), un avion décolle du point A(0 ; 0 ; 0) et suit la droite dirigée par u(4 ; 3 ; 0,5). La base de la couche nuageuse est modélisée par le plan horizontal z = 2, et une zone interdite par le plan P : x + y − 4z − 10 = 0.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Représentation paramétrique de la trajectoire ?
- En quel point l'avion atteint‑il les nuages ?
- Un vecteur normal au plan P ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Intersection de la trajectoire et de P.
- Équation du plan passant par B(1 ; 2 ; 3) de vecteur normal (2 ; 0 ; 1).
- La droite (0 ; t ; 2t) est‑elle parallèle au plan 2x + 2y − z = 3 ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la note du contrôleur aérien (8 lignes) : la trajectoire traverse‑t‑elle la zone interdite avant d'atteindre les nuages ? Justifiez avec les paramètres t. Pour bien commencer : La trajectoire est paramétrée par… · Elle coupe le plan P pour t = … · Elle atteint les nuages pour t = …, donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La représentation paramétrique d'une droite associe un point à chaque réel ______. Le vecteur (a ; b ; c) est ______ au plan ax + by + cz + d = 0. Pour couper une droite et un plan, on _______ la représentation dans l'équation. AM · n = ______ caractérise les points du plan.
Séance 2 · Orthogonalité, projeté et distance
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle est la distance d'une antenne au toit incliné ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Produit scalaire dans l'espace
En repère orthonormé, u · v = xx' + yy' + zz' ; u et v sont orthogonaux si u · v = 0. Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs le sont (même si elles ne se coupent pas). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan, ou si son vecteur directeur est normal au plan. Le projeté orthogonal H de A sur un plan P est l'intersection de P et de la droite passant par A dirigée par un vecteur normal ; c'est le point de P le plus proche de A, et AH est la distance de A à P. Pour trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs u et v, on cherche n tel que n · u = 0 et n · v = 0.
Document 1 · Le toit et l'antenne
Situation-problème.
Le pan d'un toit est modélisé par le plan P : x + 2y − 2z + 2 = 0 (unité : m) et une antenne est fixée au point C(3 ; 4 ; 0). On veut poser le câble le plus court entre C et le toit.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Représentation de la droite passant par C et orthogonale à P ?
- Valeur de t au point H ?
- Longueur CH ?
Ce qui est attendu (6 pts) : Résultats justes et justifiés
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Démontrez ou calculez.
- A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), D(0 ; 0 ; 1) : un vecteur normal au plan (ABD) ?
- Équation de (ABD) ?
- Distance de O à (ABD) ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Méthode et résultats
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la fiche d'intervention de l'installateur (8 lignes) : position du point de fixation H sur le toit, longueur du câble, justification que c'est le plus court. Pour bien commencer : Le câble le plus court est porté par la droite… · Le point de fixation a pour coordonnées… · Tout autre point M du toit vérifie CM > CH car…
Ce qui est attendu (7 pts) : Raisonnement · Rédaction
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
En repère orthonormé, u · v = xx' + yy' + ______. Le projeté orthogonal est le point du plan le plus ______. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est ______ au plan. Deux droites orthogonales ne sont pas forcément ________.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Une droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) et dirigée par u(a ; b ; c) a pour représentation paramétrique x = x_A + at, y = y_A + bt, z = ________.
Le vecteur n(a ; b ; c) est ______ au plan d'équation ax + by + cz + d = 0.
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites ________ de ce plan.
La distance d'un point A à un plan est la distance AH, où H est le __________________ de A sur le plan.
Ce que j'ai appris
- Utiliser le produit scalaire dans l'espace pour démontrer une orthogonalité
- Déterminer une représentation paramétrique de droite et une équation cartésienne de plan à partir d'un vecteur normal
- Calculer une intersection, un projeté orthogonal et une distance