Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Utiliser le produit scalaire dans l'espace pour démontrer une orthogonalité
- Déterminer une représentation paramétrique de droite et une équation cartésienne de plan à partir d'un vecteur normal
- Calculer une intersection, un projeté orthogonal et une distance
Capacités travaillées (BO)
- Chercher, expérimenter (outils numériques)
- Modéliser une situation
- Représenter, changer de registre
- Raisonner, démontrer
- Calculer, mettre en oeuvre un algorithme
- Communiquer un résultat, expliquer une démarche
Notions et définitions
Repères historiques
- Euclide, *Éléments*, livre XI : géométrie de l'espace (vers 300 av. J.‑C.)
- Gaspard Monge, *Géométrie descriptive* (1799)
- Lagrange, géométrie analytique de l'espace (1773)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Objectif : « L'objectif majeur est une bonne maîtrise des représentations paramétriques de droites et des équations de plans. »
Capacité attendue : « Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, »
Compétences : « L'évaluation doit permettre de repérer les acquis des élèves en lien avec les six compétences mathématiques : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. »
Épreuve de spécialité (terminale, version consolidée 2024) : écrite, 4 heures, coefficient 16. « Le sujet comporte quatre exercices indépendants les uns des autres, qui permettent d'évaluer les connaissances et compétences des candidats. » « Chaque exercice est noté sur 4 à 8 points. » (définition consolidée de l'épreuve de spécialité (éduscol)).
Notions : définitions rigoureuses
- Produit scalaire dans l'espace
- En repère orthonormé, u · v = xx' + yy' + zz' et ‖u‖ = √(x² + y² + z²).
- Représentation paramétrique
- x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct, t réel, pour la droite passant par A dirigée par u(a ; b ; c).
- Vecteur normal
- Vecteur non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
- Équation cartésienne
- Le plan passant par A de vecteur normal n(a ; b ; c) a une équation ax + by + cz + d = 0.
- Orthogonalité droite et plan
- Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est normal au plan.
- Projeté orthogonal
- Point H du plan tel que AH soit normal au plan ; c'est le point du plan le plus proche de A.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 300 av. J.‑C. | Euclide consacre le livre XI des Éléments aux solides et aux plans. |
| 1773 | Lagrange traite des pyramides par les coordonnées. |
| 1799 | Monge publie la Géométrie descriptive. |
| 1844 | Grassmann étend le calcul vectoriel aux dimensions supérieures. |
Les historiens en débat
La géométrie dans l'espace, longtemps affaire de constructions (Euclide, Monge), devient avec les coordonnées un calcul dans ℝ³. Le produit scalaire permet de traiter l'orthogonalité et les distances, utiles en architecture, en modélisation 3D, en robotique ou pour les trajectoires aériennes. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Euclide, Les Éléments, traduction de Bernard Vitrac, PUF, 1990‑2001.
- Richard Courant et Herbert Robbins, What Is Mathematics?, Oxford University Press, 1941.
- Hervé Lehning, Toutes les mathématiques du monde, Flammarion, 2017.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Droites et plans de l'espace | 65 min | décrire droites et plans par des équations et étudier leurs intersections |
| Séance 2 | Orthogonalité, projeté et distance | 65 min | démontrer une orthogonalité et calculer une distance dans l'espace |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Droites et plans de l'espace
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Un avion en montée traversera‑t‑il la couche nuageuse ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Représentations paramétriques et équations cartésiennes
Dans un repère orthonormé de l'espace, la droite passant par A et dirigée par u(a ; b ; c) a pour représentation paramétrique x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct (t réel) : à chaque t correspond un point. Un vecteur normal n à un plan est orthogonal à tous ses vecteurs ; le plan passant par A et de vecteur normal n(a ; b ; c) est l'ensemble des M tels que AM · n = 0, d'où une équation cartésienne ax + by + cz + d = 0. Réciproquement, une telle équation définit un plan de vecteur normal (a ; b ; c). Pour l'intersection d'une droite et d'un plan, on reporte la représentation paramétrique dans l'équation et on résout en t.
Document 1 · Le décollage
Situation-problème.
Dans un repère orthonormé (unité : km), un avion décolle du point A(0 ; 0 ; 0) et suit la droite dirigée par u(4 ; 3 ; 0,5). La base de la couche nuageuse est modélisée par le plan horizontal z = 2, et une zone interdite par le plan P : x + y − 4z − 10 = 0.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Représentation paramétrique de la trajectoire ?✔ Corrigé :
x = 4t, y = 3t, z = 0,5t.
- En quel point l'avion atteint‑il les nuages ?✔ Corrigé :
0,5t = 2, t = 4 : (16 ; 12 ; 2).
- Un vecteur normal au plan P ?✔ Corrigé :
(1 ; 1 ; −4).
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Intersection de la trajectoire et de P.✔ Corrigé :
4t + 3t − 2t − 10 = 0, t = 2 : (8 ; 6 ; 1).
- Équation du plan passant par B(1 ; 2 ; 3) de vecteur normal (2 ; 0 ; 1).✔ Corrigé :
2x + z − 5 = 0.
- La droite (0 ; t ; 2t) est‑elle parallèle au plan 2x + 2y − z = 3 ?✔ Corrigé :
u(0 ; 1 ; 2) · n(2 ; 2 ; −1) = 0 et le point (0 ; 0 ; 0) n'est pas dans le plan : parallèle strictement.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la note du contrôleur aérien (8 lignes) : la trajectoire traverse‑t‑elle la zone interdite avant d'atteindre les nuages ? Justifiez avec les paramètres t. Pour bien commencer : La trajectoire est paramétrée par… · Elle coupe le plan P pour t = … · Elle atteint les nuages pour t = …, donc…
Paramètres t = 2 pour P et t = 4 pour les nuages ; ordre chronologique ; points calculés ; recommandation ; unités.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La représentation paramétrique d'une droite associe un point à chaque réel t. Le vecteur (a ; b ; c) est normal au plan ax + by + cz + d = 0. Pour couper une droite et un plan, on reporte la représentation dans l'équation. AM · n = 0 caractérise les points du plan.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Orthogonalité, projeté et distance
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quelle est la distance d'une antenne au toit incliné ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Chercher) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (S'entraîner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Produit scalaire dans l'espace
En repère orthonormé, u · v = xx' + yy' + zz' ; u et v sont orthogonaux si u · v = 0. Deux droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs le sont (même si elles ne se coupent pas). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan, ou si son vecteur directeur est normal au plan. Le projeté orthogonal H de A sur un plan P est l'intersection de P et de la droite passant par A dirigée par un vecteur normal ; c'est le point de P le plus proche de A, et AH est la distance de A à P. Pour trouver un vecteur normal à un plan défini par deux vecteurs u et v, on cherche n tel que n · u = 0 et n · v = 0.
Document 1 · Le toit et l'antenne
Situation-problème.
Le pan d'un toit est modélisé par le plan P : x + 2y − 2z + 2 = 0 (unité : m) et une antenne est fixée au point C(3 ; 4 ; 0). On veut poser le câble le plus court entre C et le toit.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · Chercher
12 minSupports : Document 1
Calculez.
- Représentation de la droite passant par C et orthogonale à P ?✔ Corrigé :
x = 3 + t, y = 4 + 2t, z = −2t.
- Valeur de t au point H ?✔ Corrigé :
9t + 13 = 0, t = −13/9.
- Longueur CH ?✔ Corrigé :
t × ‖n‖ = 13/9 × 3 = 13/3 ≈ 4,33 m.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Résultats justes et justifiés | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · S'entraîner
18 minSupports : Cours
Démontrez ou calculez.
- A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), D(0 ; 0 ; 1) : un vecteur normal au plan (ABD) ?✔ Corrigé :
AB(−1 ; 1 ; 0), AD(−1 ; 0 ; 1) : n(1 ; 1 ; 1) convient.
- Équation de (ABD) ?✔ Corrigé :
x + y + z − 1 = 0.
- Distance de O à (ABD) ?✔ Corrigé :
Projeté (1/3 ; 1/3 ; 1/3), distance √3/3.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Méthode et résultats | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez la fiche d'intervention de l'installateur (8 lignes) : position du point de fixation H sur le toit, longueur du câble, justification que c'est le plus court. Pour bien commencer : Le câble le plus court est porté par la droite… · Le point de fixation a pour coordonnées… · Tout autre point M du toit vérifie CM > CH car…
H(14/9 ; 10/9 ; 26/9) ; CH = 13/3 m ; justification par Pythagore dans le triangle CHM rectangle en H ; clarté et unités.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Raisonnement | 5 |
| Rédaction | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
En repère orthonormé, u · v = xx' + yy' + zz'. Le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est normal au plan. Deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Chercher | 6 |
| Activité 2 · S'entraîner | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Une droite passant par A(x_A ; y_A ; z_A) et dirigée par u(a ; b ; c) a pour représentation paramétrique x = x_A + at, y = y_A + bt, z = z_A + ct.
Le vecteur n(a ; b ; c) est normal au plan d'équation ax + by + cz + d = 0.
Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
La distance d'un point A à un plan est la distance AH, où H est le projeté orthogonal de A sur le plan.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Dans un repère orthonormé, u(1 ; −2 ; 2) et v(4 ; 1 ; −1). Calculez u · v, ‖u‖ et dites si u et v sont orthogonaux. Donnez une représentation paramétrique de la droite passant par A(1 ; 0 ; 3) dirigée par u. | 4 pts | 4 − 2 − 2 = 0 : orthogonaux ; ‖u‖ = 3 ; x = 1 + t, y = −2t, z = 3 + 2t. Un point, un point, deux points. |
| 2 | Déterminez une équation du plan P passant par B(2 ; −1 ; 1) et de vecteur normal n(1 ; 2 ; −2), puis l'intersection de P avec la droite de l'exercice précédent. | 8 pts | x + 2y − 2z + d = 0, B donne 2 − 2 − 2 + d = 0, d = 2 : x + 2y − 2z + 2 = 0. Intersection : 1 + t − 4t − 6 − 4t + 2 = 0, −7t − 3 = 0, t = −3/7 : point (4/7 ; 6/7 ; 15/7). Plan (4 pts), intersection (4 pts). |
| 3 | Calculez la distance du point C(3 ; 4 ; 0) au plan P : x + 2y − 2z + 2 = 0, en déterminant le projeté orthogonal H de C sur P. Rédigez. Pour bien commencer : *Le projeté orthogonal H est sur la droite passant par C et dirigée par…* · *En reportant dans l'équation du plan, …* · *La distance vaut…* | 8 pts | Droite passant par C dirigée par n : (3 + t ; 4 + 2t ; −2t) ; dans P : 3 + t + 8 + 4t + 4t + 2 = 0, t = −13/9 ; H(14/9 ; 10/9 ; 26/9) ; CH = |t| × ‖n‖ = 13/9 × 3 = 13/3. Méthode (4 pts), calculs (3 pts), conclusion (1 pt). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : coordonnées d'un vecteur, produit scalaire, résolution d'une équation du premier degré.
- Pour aller plus loin : déterminer un vecteur orthogonal à deux vecteurs non colinéaires et l'équation d'un plan passant par trois points.