Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Reconnaître une fonction polynôme de degré 2 et ses racines sous forme factorisée
- Étudier le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée
- Utiliser la dérivée pour étudier les variations et trouver un extremum
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Fermat, méthode des maxima et minima (vers 1636)
- Newton et Leibniz : naissance du calcul différentiel (1665 à 1684)
- Lagrange introduit la notation f'(x) (1797)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Ce que dit le programme (objectif du module polynômes) : « L'objectif de ce module est de découvrir les fonctions polynômes de degré 2 à coefficients réels et d'étudier le signe d'un polynôme de degré 2 donné sous forme factorisée. »
Module dérivation : « Les formules des fonctions dérivées des fonctions affines et carré sont à connaître. » « La formule de dérivation de la fonction carré est conjecturée à l'aide des outils numériques puis admise. »
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Polynôme de degré 2
- f(x) = ax² + bx + c avec a non nul ; sa courbe est une parabole tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
- Racine
- Valeur de x telle que f(x) = 0 ; on la teste en remplaçant x par la valeur.
- Forme factorisée
- f(x) = a(x − x₁)(x − x₂) : les racines x₁ et x₂ se lisent directement.
- Signe
- Sous forme factorisée, f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines.
- Nombre dérivé
- Coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a, noté f'(a).
- Dérivée et variations
- (ax + b)' = a ; (x²)' = 2x ; si f' > 0, f croît ; si f' < 0, f décroît ; un changement de signe de f' signale un extremum.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1636 | Fermat, méthode pour trouver maxima et minima. |
| 1684 | Leibniz publie son calcul différentiel. |
| 1687 | Newton, Principia. |
| 1797 | Lagrange, Théorie des fonctions analytiques : notation f'. |
Les historiens en débat
Le problème de l'optimum (le plus grand bénéfice, la plus petite dépense) est à l'origine du calcul différentiel : Fermat cherchait déjà les maxima en comparant des valeurs très proches. Newton et Leibniz ont donné à ces méthodes leur forme générale. En économie et en gestion, la dérivée sert à repérer le meilleur niveau de production. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
- Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
- Explorer · calculatrice graphique GeoGebra (tracer f et sa tangente, commande Tangente).
Sources et bibliographie
- Jean Dieudonné (dir.), Abrégé d'histoire des mathématiques, Hermann, 1978.
- Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.
- Documentation de GeoGebra (geogebra.org), commande Tangente.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Racines et signe d'un polynôme du second degré | 65 min | lire les racines d'une forme factorisée et étudier le signe |
| Séance 2 | Dérivée et variations : trouver la production optimale | 65 min | calculer une dérivée, étudier son signe et en déduire un maximum |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Racines et signe d'un polynôme du second degré
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Pour quelles quantités l'atelier gagne-t-il de l'argent ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Polynômes de degré 2
Une fonction polynôme de degré 2 s'écrit f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 ; sa courbe est une parabole. Une racine est une valeur de x qui annule f. Quand f est donnée sous forme factorisée f(x) = a(x − x₁)(x − x₂), les racines sont x₁ et x₂ (un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul). Signe : f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. On le vérifie avec un tableau de signes ou sur la courbe. Développer la forme factorisée redonne la forme ax² + bx + c.
Document 1 · Le bénéfice d'un atelier de reliure
Situation professionnelle.
Un atelier fabrique x carnets par jour (x de 0 à 60). Son bénéfice quotidien, en euros, est modélisé par B(x) = −2(x − 10)(x − 50).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Lisez le modèle.
- B(0) ? Que représente cette valeur ?✔ Corrigé :
B(0) = −1 000 € : les charges fixes quand on ne produit rien.
- Racines de B ?✔ Corrigé :
10 et 50.
- Forme développée ?✔ Corrigé :
B(x) = −2x² + 120x − 1 000.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Lecture et calcul | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Étudiez le signe.
- Signe de a ? Conséquence ?✔ Corrigé :
a = −2 < 0 : B(x) négatif à l'extérieur des racines, positif entre.
- Tableau de signes de 0 à 60 ?✔ Corrigé :
Négatif de 0 à 10, nul en 10, positif de 10 à 50, nul en 50, négatif de 50 à 60.
- Vérifiez avec B(20) et B(55).✔ Corrigé :
B(20) = 600 > 0 ; B(55) = −450 < 0.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Signe | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Expliquez au gérant, en 6 à 8 lignes, pour quelles productions l'atelier est rentable et pourquoi produire trop fait perdre de l'argent (heures supplémentaires, invendus). Pour bien commencer : L'atelier est rentable quand… · D'après le graphique, cela correspond à… · Au‑delà, …
Rentable strictement entre 10 et 50 carnets par jour ; au-delà de 50, les coûts dépassent les recettes ; interprétation économique des racines (seuils de rentabilité) ; rédaction claire.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Argumentation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Une racine est une valeur qui annule le polynôme. Sous forme factorisée a(x − x₁)(x − x₂), le polynôme est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe contraire entre elles.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Dérivée et variations : trouver la production optimale
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Combien de carnets fabriquer pour gagner le plus ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Dérivée et extremum
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a (on l'observe dans GeoGebra comme limite des sécantes). La fonction dérivée f' associe à x le nombre dérivé en x. Formules à connaître : (ax + b)' = a ; (x²)' = 2x ; (k × f)' = k × f' ; (f + g)' = f' + g'. Théorème (admis) : si f' > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f' < 0, décroissante. Si f' s'annule en changeant de signe, f admet un extremum en ce point.
Document 1 · Bénéfice et tangentes
Activité numérique GeoGebra.
Tracer B(x) = −2x² + 120x − 1000 pour x de 0 à 60. Placer un point A mobile sur la courbe, afficher la tangente en A (commande Tangente) et son coefficient directeur. Observer quand la tangente est horizontale.
Source : Activité construite pour la séance par le professeur.
Activité 1 · Analyser, raisonner
12 minSupports : Document 1
Observez dans GeoGebra.
- Coefficient directeur de la tangente en x = 20 ? en x = 40 ?✔ Corrigé :
40 et −40.
- Où la tangente est-elle horizontale ?✔ Corrigé :
En x = 30.
- Que conjecturez-vous ?✔ Corrigé :
Le maximum est atteint en x = 30.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Conjecture | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Document 1, cours
Démontrez par le calcul.
- B'(x) ?✔ Corrigé :
B'(x) = −4x + 120.
- Signe de B'(x) ?✔ Corrigé :
Positif pour x < 30, nul en 30, négatif pour x > 30.
- Tableau de variations et maximum ?✔ Corrigé :
B croissante de 0 à 30, décroissante de 30 à 60 ; maximum B(30) = 800 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Dérivée et variations | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider
15 minSupports : Documents et cours
Comparez avec les valeurs B(29) et B(31), puis rédigez une recommandation (6 à 8 lignes) au gérant en rappelant les limites du modèle. Pour bien commencer : B(29) et B(31) sont… que B(30) · Le bénéfice maximal est donc obtenu pour… · Ce modèle a des limites car…
B(29) = B(31) = 798 € < 800 € : cohérent ; recommandation : 30 carnets par jour pour 800 € de bénéfice ; limites : modèle simplifié, demande réelle, capacité de l'atelier.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Validation | 5 |
| Communication | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente. Si f' est positive, f est croissante ; si f' est négative, f est décroissante. Quand f' change de signe, f admet un extremum.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · Analyser, raisonner | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Valider | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Les racines d'un polynôme sont les valeurs de x qui l'annulent.
a(x − x₁)(x − x₂) est la forme factorisée d'un polynôme de degré 2.
Si f'(x) > 0 sur un intervalle, f est croissante sur cet intervalle.
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | Soit f(x) = 3(x − 2)(x − 6) pour x de 0 à 8. Donnez les racines de f et étudiez son signe dans un tableau. | 6 pts | Racines 2 et 6 ; a = 3 > 0 : f(x) positif pour x entre 0 et 2 et entre 6 et 8, négatif entre 2 et 6, nul en 2 et 6. Tableau de signes correct. |
| 2 | Développez f(x), calculez f'(x), étudiez son signe et dressez le tableau de variations de f sur l'intervalle de 0 à 8. | 6 pts | f(x) = 3x² − 24x + 36 ; f'(x) = 6x − 24 ; f'(x) < 0 avant 4, > 0 après ; f décroissante de 0 à 4, croissante de 4 à 8 ; minimum f(4) = −12 ; f(0) = 36 et f(8) = 36. |
| 3 | Une entreprise fabrique x centaines de pièces (x de 0 à 40). Son bénéfice en centaines d'euros est P(x) = −x² + 40x − 300 = −(x − 10)(x − 30). Pour quelles quantités est-elle rentable ? Quelle production maximise le bénéfice ? Rédigez une conclusion pour la direction. Pour bien commencer : *Le bénéfice est positif quand…* · *Il est maximal pour…* · *Je conseille donc à la direction…* | 8 pts | P(x) > 0 entre les racines 10 et 30 (a < 0) : rentable entre 1 000 et 3 000 pièces ; P'(x) = −2x + 40, nul en 20, positif avant, négatif après : maximum P(20) = 100, soit 10 000 € pour 2 000 pièces ; conclusion rédigée avec unités. |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : développer, calculer une image, lire un coefficient directeur.
- Pour aller plus loin : conjecturer la dérivée de x² dans GeoGebra avec la tangente.