Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Représenter un nuage de points avec un tableur ou une calculatrice
- Déterminer une droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés et le coefficient de détermination
- Interpoler, extrapoler et exercer un regard critique (corrélation et causalité)
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Nuage de points
- Représentation des points de coordonnées (xᵢ ; yᵢ) dans un repère.
- Point moyen
- G(x̄ ; ȳ), où x̄ et ȳ sont les moyennes des deux séries.
- Ajustement affine
- Remplacement du nuage par une droite y = ax + b qui le résume.
- Moindres carrés
- Méthode qui choisit la droite rendant minimale la somme des carrés des écarts verticaux ; elle passe par G.
- Coefficient de détermination
- R², entre 0 et 1, obtenu avec l'outil numérique ; proche de 1, l'ajustement affine est pertinent.
- Interpolation, extrapolation
- Estimation à l'intérieur du domaine des données (interpolation) ou en dehors (extrapolation, plus risquée).
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1805 | Legendre publie la méthode des moindres carrés pour calculer l'orbite des comètes. |
| 1809 | Gauss la justifie par la théorie des erreurs. |
| 1886 | Galton étudie la taille des enfants en fonction de celle des parents. |
| 1896 | Pearson définit le coefficient de corrélation. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.
- David Salsburg, The Lady Tasting Tea, W. H. Freeman, 2001.
- Hans Rosling, Factfulness, Flammarion, 2019.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Nuage de points et ajustement affine
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
La consommation d'un véhicule dépend‑elle de sa vitesse ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Ajustement affine
Une série statistique à deux variables associe à chaque individu deux valeurs (xᵢ ; yᵢ). On la représente par un nuage de points. Le point moyen G a pour coordonnées les moyennes x̄ et ȳ. Si les points sont presque alignés, on réalise un ajustement affine : la méthode des moindres carrés, calculée par le tableur (courbe de tendance linéaire) ou la calculatrice, donne la droite y = ax + b qui passe au plus près des points ; elle passe par G. Le coefficient de détermination R² (entre 0 et 1) mesure la qualité de l'ajustement : plus il est proche de 1, plus le nuage est proche de la droite.
Document 1 · La flotte de véhicules
Situation-problème.
Une entreprise de maintenance veut réduire la consommation de ses véhicules utilitaires. Un test donne la consommation (L/100 km) selon la vitesse stabilisée (km/h) : 50 : 6,1 ; 70 : 6,9 ; 90 : 7,8 ; 110 : 9,0 ; 130 : 10,3.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Représentez.
- Tracez le nuage de points au tableur.
- Coordonnées du point moyen G ?
- Un ajustement affine semble‑t‑il pertinent ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Ajustez avec l'outil numérique.
- Équation donnée par le tableur ?
- R² ?
- Vérifiez que G est (presque) sur la droite.
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au responsable de la flotte (6 à 8 lignes) : quelle économie de carburant en roulant à 110 km/h au lieu de 130 km/h sur 500 km ? Pour bien commencer : D'après l'ajustement, … · Sur 500 km, la consommation passe de… à… · Je propose donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
La droite d'ajustement passe par le point ______. La méthode des moindres ______ est calculée par le tableur. Plus R² est proche de ______, meilleur est l'ajustement. Les points (xᵢ ; yᵢ) forment un ______.
Séance 2 · Prévoir et critiquer
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Peut‑on prévoir la consommation à 160 km/h ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Utiliser un ajustement
Avec la droite d'ajustement, on estime une valeur : à l'intérieur de l'intervalle des données, c'est une interpolation (fiable si R² est proche de 1) ; en dehors, une extrapolation, plus risquée, car rien ne garantit que la tendance se prolonge. On peut aussi résoudre ax + b = c pour estimer x. Un R² proche de 1 signifie une forte corrélation entre les variables, mais pas forcément une causalité : un troisième facteur peut expliquer les deux (effet de « variable cachée »). On contrôle toujours la vraisemblance d'une prévision.
Document 1 · Les ventes du marchand de glaces
Situation-problème.
Sur une plage, un poste de secours relève chaque jour d'été le nombre de coups de soleil soignés et le nombre de glaces vendues par le kiosque voisin. Sur 20 jours, l'ajustement affine donne R² = 0,95.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Interprétez.
- Que signifie R² = 0,95 ?
- Les glaces causent‑elles les coups de soleil ?
- Quel facteur commun ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Revenez aux véhicules (y = 0,052x + 3,34).
- Estimation à 100 km/h ?
- Estimation à 160 km/h ?
- Pourquoi l'extrapolation est‑elle risquée ici ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un court article (8 lignes) pour le journal du lycée : « Corrélation n'est pas causalité », avec l'exemple des glaces et une règle de prudence pour les prévisions. Pour bien commencer : Une forte corrélation signifie… · Dans l'exemple de la plage, … · Avant de prévoir, il faut…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Une estimation à l'intérieur des données est une _____________. En dehors des données, on parle d'_____________. Une forte corrélation ne prouve pas une _________. Un troisième facteur peut expliquer les deux _________.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Un ensemble de points (xᵢ ; yᵢ) forme un ______ de points.
La droite d'ajustement par les moindres carrés passe par le point ______.
Un coefficient de détermination proche de ______ indique une forte corrélation.
Une forte corrélation ne prouve pas une relation de ______ à effet.
Ce que j'ai appris
- Représenter un nuage de points avec un tableur ou une calculatrice
- Déterminer une droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés et le coefficient de détermination
- Interpoler, extrapoler et exercer un regard critique (corrélation et causalité)