Probabilités : réunion, intersection, tableaux croisés et conditionnement · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Première

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 1re professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 (groupements A, B et C) : suites arithmétiques, polynômes de degré 2, fonction dérivée.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de première professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Statistique et probabilités », module « Probabilités »

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Traduire des évènements en langage ensembliste (∩, ∪, contraire)
Calculer P(A ∪ B) avec la relation P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Exploiter un tableau croisé d'effectifs et calculer une fréquence conditionnelle

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

univers fini, évènementintersection A ∩ B, réunion A ∪ Bévènements incompatibles, évènement contrairetableau croisé d'effectifsfréquence conditionnelle, probabilité conditionnelle

Repères historiques

Huygens, premier traité de probabilités (1657)
Laplace, définition classique de la probabilité (1812)
Venn, diagrammes ensemblistes (1880)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « L'objectif de ce module est d'aborder la modélisation probabiliste dans le cas d'un univers fini en mobilisant un vocabulaire ensembliste. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Univers: Ensemble des issues d'une expérience aléatoire.
Intersection: A ∩ B : A et B sont réalisés tous les deux.
Réunion: A ∪ B : au moins un des deux est réalisé.
Incompatibles: A ∩ B est impossible ; alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Relation: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; P(Ā) = 1 − P(A).
Fréquence conditionnelle: Effectif de A ∩ B divisé par l'effectif de B : proportion de A parmi B.

Repères

Date	Événement
1657	Huygens publie le premier traité de calcul des probabilités.
1812	Laplace définit la probabilité comme rapport des cas favorables aux cas possibles.
1880	John Venn popularise les diagrammes qui portent son nom.
1933	Kolmogorov fonde les probabilités sur la théorie des ensembles.

Les historiens en débat

Le vocabulaire ensembliste (et, ou, non) permet de décrire précisément des évènements ; depuis Kolmogorov, les probabilités reposent sur la théorie des ensembles. Les tableaux croisés, omniprésents dans les études de l'entreprise ou de la santé, montrent qu'une proportion globale peut masquer des écarts importants entre sous‑groupes. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.
Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité, Seuil, 2002.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Réunion, intersection, contraire	65 min	traduire et calculer avec le langage ensembliste
Séance 2	Tableaux croisés et fréquences conditionnelles	65 min	exploiter un tableau croisé d'effectifs
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Réunion, intersection, contraire

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle chance de tirer un coeur ou une figure ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Opérations sur les évènements

Dans un univers fini avec équiprobabilité, P(A) = nombre d'issues de A / nombre total d'issues. L'intersection A ∩ B (« A et B ») est l'ensemble des issues communes ; la réunion A ∪ B (« A ou B », au sens inclusif) est l'ensemble des issues qui sont dans l'un au moins. Deux évènements sont incompatibles si A ∩ B est vide. Relation : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (on retire ce qui a été compté deux fois). L'évènement contraire Ā a pour probabilité 1 − P(A). Un diagramme ou un tableau aide à visualiser.

Document 1 · Le jeu de cartes

Situation-problème.

Pour une animation au foyer, on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : coeur, carreau, trèfle, pique ; 8 valeurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as). On gagne si la carte est un coeur ou une figure (valet, dame, roi).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Dénombrez.

Combien de coeurs ? de figures ?
✔ Corrigé :
8 ; 12.
Combien de figures de coeur ?
✔ Corrigé :
3.
Combien de cartes font gagner ?
✔ Corrigé :
8 + 12 − 3 = 17.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

P(A ∪ B) ?
✔ Corrigé :
17/32 ≈ 0,53.
P(« ni coeur ni figure ») ?
✔ Corrigé :
1 − 17/32 = 15/32.
A : « tirer un as », B : « tirer un roi » : incompatibles ? P(A ∪ B) ?
✔ Corrigé :
Oui ; 4/32 + 4/32 = 1/4.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Expliquez à un camarade (6 lignes) pourquoi on ne peut pas simplement additionner 8/32 et 12/32 pour calculer la probabilité de gagner. Pour bien commencer : Si on additionne, on compte… · Les figures de coeur sont… · Il faut donc retirer…

✔ Corrigé rédigé :

Double comptage des 3 figures de coeur ; relation P(A ∪ B) ; résultat 17/32 ; clarté.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

A ∩ B est réalisé quand A et B sont réalisés. A ∪ B est réalisé quand au moins un des deux l'est. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Pour deux évènements incompatibles, on additionne simplement.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Tableaux croisés et fréquences conditionnelles

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

La formation sécurité est‑elle suivie partout ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Tableaux croisés

Un tableau croisé d'effectifs répartit une population selon deux critères (service et formation, par exemple), avec les totaux en ligne et en colonne. En choisissant un individu au hasard, P(A ∩ B) = effectif de la case / effectif total. La fréquence conditionnelle de A parmi B est effectif de A ∩ B / effectif de B : on change de population de référence. Elle permet de comparer des sous‑groupes ; une proportion globale peut masquer de grandes différences. Notation : P_B(A), probabilité de A sachant B.

Document 1 · La formation sécurité

Situation-problème.

Dans une entreprise de 200 salariés, 120 travaillent en atelier et 80 dans les bureaux. 90 salariés de l'atelier et 20 salariés des bureaux ont suivi une formation sécurité.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Complétez le tableau.

Effectifs des non formés par service ?
✔ Corrigé :
Atelier 30 ; bureaux 60.
Total des formés ?
✔ Corrigé :
110.
P(un salarié pris au hasard est formé) ?
✔ Corrigé :
110/200 = 0,55.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez les fréquences conditionnelles.

Proportion de formés parmi l'atelier ?
✔ Corrigé :
90/120 = 0,75.
Parmi les bureaux ?
✔ Corrigé :
20/80 = 0,25.
Proportion de salariés d'atelier parmi les formés ?
✔ Corrigé :
90/110 ≈ 0,82.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au comité d'entreprise (6 à 8 lignes) : la direction affirme que la sécurité est assurée partout car 55 % des salariés sont formés. Discutez. Pour bien commencer : Globalement, … · Cependant, dans les bureaux, … · Je propose donc…

✔ Corrigé rédigé :

55 % global ; 75 % et 25 % ; distinction des populations de référence ; proposition (former en priorité les bureaux) ; ton professionnel.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Une fréquence conditionnelle se calcule en divisant par l'effectif d'un sous‑groupe. Un tableau croisé comporte des totaux en ligne et en colonne. Une proportion globale peut masquer des différences entre sous‑groupes. P_B(A) se lit : probabilité de A sachant B.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

L'évènement A ∩ B est réalisé quand A et B sont réalisés.

L'évènement A ∪ B est réalisé quand A ou B est réalisé.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Deux évènements incompatibles ne peuvent pas être réalisés en même temps.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. A : « tirer un coeur », B : « tirer une figure (valet, dame, roi) ». Calculez P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A ∪ B).	4 pts	8/32 ; 12/32 ; 3/32 ; (8 + 12 − 3)/32 = 17/32. Un point chacun.
2	Dans une entreprise de 200 salariés, 120 travaillent en atelier et 80 dans les bureaux ; 90 salariés de l'atelier et 20 des bureaux ont suivi une formation sécurité. Complétez le tableau croisé, puis calculez la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit en atelier et formé, puis soit formé sachant qu'il est en bureau.	8 pts	Tableau : atelier formés 90, non formés 30 ; bureaux 20 et 60 ; total formés 110. P(atelier ∩ formé) = 90/200 = 0,45 ; fréquence des formés parmi les bureaux 20/80 = 0,25. Tableau (3 pts), calculs (5 pts).
3	Avec le même tableau, la direction affirme : « Plus de la moitié des salariés sont formés, la sécurité est assurée partout. » Discutez en comparant les fréquences conditionnelles dans chaque service. Pour bien commencer : Globalement, la proportion de salariés formés est… · Mais si l'on regarde chaque service, … · La conclusion de la direction est donc…	8 pts	110/200 = 55 % de formés au total, mais 75 % en atelier et seulement 25 % dans les bureaux : la situation est très inégale ; la conclusion globale masque une différence importante. Calculs (4 pts), argumentation (4 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : fractions, pourcentages, lecture d'un tableau à double entrée.
Pour aller plus loin : estimer P(A ∪ B) et P(A ∩ B) au tableur par simulation et retrouver la relation.