Vecteurs du plan : coordonnées, norme, somme et colinéarité · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Première

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 1re professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 (groupements A, B et C) : suites arithmétiques, polynômes de degré 2, fonction dérivée.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de première professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Géométrie », module « Vecteurs du plan » (groupements A et B)

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Lire et représenter un vecteur par ses coordonnées dans un repère orthonormé
Calculer la norme d'un vecteur et les coordonnées d'une somme
Reconnaître des vecteurs colinéaires à l'aide du produit par un réel

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

vecteur : direction, sens, normecoordonnées d'un vecteurnorme d'un vecteursomme de vecteursproduit par un réel, colinéarité

Repères historiques

Stevin, composition des forces (1586)
Newton, parallélogramme des forces (1687)
Gibbs et Heaviside, calcul vectoriel (années 1880)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « Ils découvrent les vecteurs du plan, qui sont un outil efficace pour modéliser en physique, pour analyser des figures géométriques et résoudre des problèmes. »

Norme : « La norme d'un vecteur est définie comme la longueur d'un de ses représentants. »

Colinéarité : « Le lien entre produit d'un vecteur par un réel et la colinéarité est établi. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Vecteur: Objet défini par une direction, un sens et une norme ; représenté par une flèche.
Coordonnées: AB(xB − xA ; yB − yA).
Norme: ‖u‖ = √(x² + y²) dans un repère orthonormé.
Somme: u + v a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′) ; relation de Chasles AB + BC = AC.
Produit par un réel: k u a pour coordonnées (kx ; ky).
Colinéarité: u et v sont colinéaires s'il existe k tel que v = k u.

Repères

Date	Événement
1586	Simon Stevin étudie l'équilibre des forces sur un plan incliné.
1687	Newton énonce la règle du parallélogramme des forces.
Années 1880	Gibbs et Heaviside créent le calcul vectoriel moderne.
Aujourd'hui	Les vecteurs servent en mécanique, en navigation et en infographie.

Les historiens en débat

Les vecteurs sont nés du besoin de composer les forces et les vitesses : Stevin, puis Newton, ont compris que deux actions s'additionnent selon la règle du parallélogramme. Le calcul vectoriel moderne, fixé à la fin du XIXe siècle, est aujourd'hui partout, de la grue de chantier au GPS. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Robert Laffont, 2014.
Richard Courant et Herbert Robbins, Qu'est‑ce que les mathématiques ?, Cassini, 2015.
Steven Strogatz, The Joy of x, Houghton Mifflin Harcourt, 2012.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Coordonnées et norme	65 min	lire, représenter un vecteur et calculer sa norme
Séance 2	Somme et colinéarité	65 min	additionner des vecteurs et reconnaître la colinéarité
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Coordonnées et norme

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment décrire précisément un déplacement ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Coordonnées d'un vecteur

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme (longueur). Le vecteur AB va de A vers B. Dans un repère, ses coordonnées sont (xB − xA ; yB − yA) : le déplacement horizontal puis vertical. Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées ; opposés si leurs coordonnées sont opposées. Dans un repère orthonormé, la norme de u(x ; y) est √(x² + y²) (théorème de Pythagore).

Document 1 · Le robot d'entrepôt

Situation-problème.

Dans un entrepôt quadrillé (unité : 1 m), un robot part du point A(1 ; 2), va au point B(4 ; 6), puis au point C(10 ; 6).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lisez les déplacements.

Coordonnées de AB ?
✔ Corrigé :
(3 ; 4).
Coordonnées de BC ?
✔ Corrigé :
(6 ; 0).
Coordonnées de BA ?
✔ Corrigé :
(−3 ; −4), opposé de AB.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez les normes.

Norme de AB ?
✔ Corrigé :
√25 = 5 m.
Norme de BC ?
✔ Corrigé :
6 m.
Distance AC en ligne droite ?
✔ Corrigé :
AC(9 ; 4), √97 ≈ 9,85 m.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la suite d'instructions du robot (6 lignes) avec les vecteurs, et comparez la longueur du trajet A, B, C avec la distance AC. Pour bien commencer : Le robot se déplace d'abord de… · Le trajet total mesure… · En ligne droite, il parcourrait…

✔ Corrigé rédigé :

Coordonnées justes ; trajet 11 m ; distance 9,85 m ; comparaison ; clarté.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA). La norme de u(x ; y) est √(x² + y²). Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées. Un vecteur a une direction, un sens et une norme.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Somme et colinéarité

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle est la force totale exercée par deux câbles ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Somme de vecteurs

La somme de u(x ; y) et v(x′ ; y′) a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′). Géométriquement : on met les vecteurs bout à bout (relation de Chasles AB + BC = AC) ou on construit un parallélogramme. Attention : la norme d'une somme n'est pas la somme des normes, sauf si les vecteurs ont même direction et même sens. Le produit k u a pour coordonnées (kx ; ky). Deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u : ils ont la même direction.

Document 1 · Le levage d'un bloc

Situation-problème.

Sur un chantier, deux câbles tirent un bloc de béton. Les forces, en kilonewtons, ont pour coordonnées F1(3 ; 4) et F2(1 ; −2).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Additionnez.

Coordonnées de F1 + F2 ?
✔ Corrigé :
(4 ; 2).
Norme de F1 + F2 ?
✔ Corrigé :
√20 ≈ 4,47 kN.
Somme des normes de F1 et F2 ?
✔ Corrigé :
5 + √5 ≈ 7,24 kN, différent.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez la colinéarité.

u(2 ; 3) et v(6 ; 9) ?
✔ Corrigé :
v = 3u : colinéaires.
u(2 ; 3) et w(4 ; 5) ?
✔ Corrigé :
4/2 = 2 mais 5/3 n'est pas 2 : non colinéaires.
Quelle force F4 annule F1 ?
✔ Corrigé :
F4(−3 ; −4), vecteur opposé.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note de sécurité (6 à 8 lignes) : un technicien pense que deux câbles de 5 kN donnent toujours 10 kN. Utilisez F1(3 ; 4) et F3(4 ; −3) pour le corriger. Pour bien commencer : Les deux forces ont chacune une norme de… · Leur somme vaut… · Il faut donc retenir que…

✔ Corrigé rédigé :

F1 + F3 = (7 ; 1) ; norme ≈ 7,07 kN ; condition de même direction et même sens ; ton de consigne.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

La somme de u(x ; y) et v(x′ ; y′) a pour coordonnées (x + x′ ; y + y′). La norme d'une somme n'est pas en général la somme des normes. k u a pour coordonnées (kx ; ky). v = k u signifie que u et v sont colinéaires.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Un vecteur est défini par une direction, un sens et une norme.

Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA).

La norme de u(x ; y) est la racine carrée de x² + y².

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Calculez les coordonnées du vecteur AB et sa norme.	4 pts	AB(3 ; 4) ; norme √(9 + 16) = 5. 2 points chacun.
2	Deux câbles tirent un bloc : F1(3 ; 4) et F2(1 ; −2) (en kN). Calculez les coordonnées de la force résultante F1 + F2 et sa norme, puis dites si u(2 ; 3) et v(6 ; 9) sont colinéaires.	8 pts	F1 + F2 = (4 ; 2) ; norme √20 ≈ 4,47 kN. v = 3u : colinéaires. Somme (3 pts), norme (2 pts), colinéarité (3 pts).
3	Un technicien affirme : « Deux câbles de 5 kN chacun exercent toujours une force totale de 10 kN. » Avec F1(3 ; 4) et F3(4 ; −3), qui ont chacune une norme de 5, montrez qu'il se trompe et expliquez. Pour bien commencer : Les deux forces ont une norme de… · Leur somme a pour coordonnées… · Les normes s'additionnent seulement si…	8 pts	F1 + F3 = (7 ; 1), norme √50 ≈ 7,07 kN, moins que 10 : les normes ne s'additionnent pas, sauf si les vecteurs ont même direction et même sens. Calculs (4 pts), explication (4 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : repérage dans un plan, racine carrée, théorème de Pythagore.
Pour aller plus loin : construire la somme de deux forces avec un logiciel de géométrie dynamique et faire varier l'angle.