Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Placer sur le cercle trigonométrique le point image d'un réel et convertir degrés et radians
- Lire le cosinus et le sinus d'un réel et utiliser les valeurs particulières
- Construire et exploiter la courbe de la fonction sinus (périodicité)
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Cercle trigonométrique
- Cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
- Radian
- Mesure de l'angle qui intercepte un arc de longueur 1 ; π rad = 180°.
- Cosinus et sinus
- Abscisse et ordonnée du point image M du réel x.
- Propriétés
- −1 ⩽ cos x ⩽ 1 ; −1 ⩽ sin x ⩽ 1 ; cos² x + sin² x = 1.
- Valeurs particulières
- sin(π/6) = 0,5 ; cos(π/3) = 0,5 ; sin(π/2) = 1 ; cos(π) = −1.
- Période
- La fonction sinus se répète tous les 2π : sin(x + 2π) = sin x.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| IIe siècle av. J.‑C. | Hipparque dresse des tables de cordes pour l'astronomie. |
| Ve siècle | Les mathématiciens indiens utilisent la demi‑corde, ancêtre du sinus. |
| 1748 | Euler traite cosinus et sinus comme des fonctions d'un nombre réel. |
| 1873 | Le mot « radian » apparaît dans un examen rédigé par James Thomson. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
- Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
- Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Robert Laffont, 2014.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Cercle trigonométrique et radian
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment mesurer un angle avec une longueur ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Le cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique a pour centre l'origine O et pour rayon 1 ; il est orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On enroule la droite des réels autour du cercle : à chaque réel x correspond un point M du cercle. Comme le périmètre vaut 2π, un tour complet correspond à 2π. Le radian est l'unité d'angle associée : π rad = 180° ; les mesures sont proportionnelles (x en radians correspond à 180x/π degrés). Points particuliers : π/2 (quart de tour), π (demi‑tour), π/6, π/4, π/3.
Document 1 · La roue de la grande roue
Situation-problème.
Une nacelle de grande roue tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On modélise la roue par un cercle de rayon 1 (unité : 10 m) et on repère la nacelle par le réel x correspondant à la longueur d'arc parcourue depuis le point de départ A(1 ; 0).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Placez.
- Où est la nacelle pour x = π/2 ?
- Pour x = π ?
- Pour x = 2π ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Convertissez.
- 60° en radians ?
- π/4 rad en degrés ?
- Quel angle en degrés pour x = 5π/6 ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Expliquez à un camarade (6 lignes) pourquoi un tour complet correspond à 2π radians et comment convertir des degrés en radians. Pour bien commencer : Le cercle a pour rayon 1, donc son périmètre est… · Un tour complet correspond à… · Pour convertir, on utilise…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Le cercle trigonométrique a pour rayon ______. Un tour complet correspond à ______ radians. π radians correspondent à ______ degrés. Les mesures en degrés et en radians sont ________________.
Séance 2 · Cosinus, sinus et fonction sinus
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Pourquoi la tension du secteur est‑elle « sinusoïdale » ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · La fonction sinus
Le cosinus et le sinus du réel x sont l'abscisse et l'ordonnée du point image M : M(cos x ; sin x). Donc −1 ⩽ cos x ⩽ 1, −1 ⩽ sin x ⩽ 1 et, par Pythagore, cos² x + sin² x = 1. Valeurs à connaître : sin(π/6) = 0,5 ; cos(π/3) = 0,5 ; sin(π/4) = cos(π/4) ≈ 0,707 ; sin(π/2) = 1. En reportant sin x pour chaque x, on construit point par point la courbe de la fonction sinus : une sinusoïde, périodique de période 2π. La fonction cosinus s'obtient par translation.
Document 1 · La tension du secteur
Situation-problème.
La tension délivrée par une prise électrique est modélisée par u(t) = 325 sin(100πt), où t est en secondes et u en volts. Un oscilloscope affiche la courbe.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Lisez sur le cercle.
- cos(π/3) et sin(π/3) ?
- sin(π) ?
- Si sin x = 0,6 avec x entre 0 et π/2, cos x ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Étudiez la tension.
- Tension maximale ?
- Période (100πT = 2π) ?
- Fréquence ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note pour un apprenti électricien (6 à 8 lignes) : que signifie « tension sinusoïdale de 50 Hz » et que représente 325 V ? Pour bien commencer : Une tension sinusoïdale varie… · Le motif se répète toutes les… · La valeur 325 V est…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Le point image M de x a pour coordonnées (cos x ; ______). Pour tout réel x, cos² x + sin² x = ______. La fonction sinus est périodique de période ______. Une tension de période 0,02 s a une fréquence de ______ Hz.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Le cercle trigonométrique a pour rayon ______.
Une mesure de l'angle plat est π _______.
Pour tout réel x, cos² x + sin² x = ______.
La fonction sinus est périodique de période ______.
Ce que j'ai appris
- Placer sur le cercle trigonométrique le point image d'un réel et convertir degrés et radians
- Lire le cosinus et le sinus d'un réel et utiliser les valeurs particulières
- Construire et exploiter la courbe de la fonction sinus (périodicité)