Trigonométrie : cercle trigonométrique, radian et fonction sinus · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Première

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de 1re professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 (groupements A, B et C) : suites arithmétiques, polynômes de degré 2, fonction dérivée.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de première professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Géométrie », module « Trigonométrie » (groupements A et B)

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Placer sur le cercle trigonométrique le point image d'un réel et convertir degrés et radians
Lire le cosinus et le sinus d'un réel et utiliser les valeurs particulières
Construire et exploiter la courbe de la fonction sinus (périodicité)

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

cercle trigonométrique, enroulementradian, conversioncosinus et sinus d'un réelcos² x + sin² x = 1fonction sinus, période, phénomène périodique

Repères historiques

Hipparque, tables de cordes (IIe siècle av. J.‑C.)
Euler, cosinus et sinus comme fonctions (1748)
Le radian, nommé en 1873 par James Thomson

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « L'objectif de ce module est de découvrir des outils permettant de modéliser des phénomènes périodiques. »

Fonction sinus : « Les élèves étudient la fonction sinus dont la courbe représentative est construite point par point par enroulement de la droite des réels sur le cercle trigonométrique. »

Radian : « Une nouvelle unité de mesure d'angle, le radian, est introduite. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Cercle trigonométrique: Cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Radian: Mesure de l'angle qui intercepte un arc de longueur 1 ; π rad = 180°.
Cosinus et sinus: Abscisse et ordonnée du point image M du réel x.
Propriétés: −1 ⩽ cos x ⩽ 1 ; −1 ⩽ sin x ⩽ 1 ; cos² x + sin² x = 1.
Valeurs particulières: sin(π/6) = 0,5 ; cos(π/3) = 0,5 ; sin(π/2) = 1 ; cos(π) = −1.
Période: La fonction sinus se répète tous les 2π : sin(x + 2π) = sin x.

Repères

Date	Événement
IIe siècle av. J.‑C.	Hipparque dresse des tables de cordes pour l'astronomie.
Ve siècle	Les mathématiciens indiens utilisent la demi‑corde, ancêtre du sinus.
1748	Euler traite cosinus et sinus comme des fonctions d'un nombre réel.
1873	Le mot « radian » apparaît dans un examen rédigé par James Thomson.

Les historiens en débat

La trigonométrie est née de l'astronomie : Hipparque, puis les savants indiens et arabes, ont calculé des cordes et des demi‑cordes. Avec Euler, le sinus devient une fonction, outil idéal pour décrire les phénomènes périodiques : courant alternatif, ondes sonores, marées, mouvements de rotation. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
Ahmed Djebbar, Une histoire de la science arabe, Seuil, 2001.
Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Robert Laffont, 2014.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Cercle trigonométrique et radian	65 min	placer des points et convertir les mesures d'angle
Séance 2	Cosinus, sinus et fonction sinus	65 min	lire cos et sin d'un réel et exploiter la courbe du sinus
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Cercle trigonométrique et radian

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment mesurer un angle avec une longueur ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Le cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique a pour centre l'origine O et pour rayon 1 ; il est orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On enroule la droite des réels autour du cercle : à chaque réel x correspond un point M du cercle. Comme le périmètre vaut 2π, un tour complet correspond à 2π. Le radian est l'unité d'angle associée : π rad = 180° ; les mesures sont proportionnelles (x en radians correspond à 180x/π degrés). Points particuliers : π/2 (quart de tour), π (demi‑tour), π/6, π/4, π/3.

Document 1 · La roue de la grande roue

Situation-problème.

Une nacelle de grande roue tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On modélise la roue par un cercle de rayon 1 (unité : 10 m) et on repère la nacelle par le réel x correspondant à la longueur d'arc parcourue depuis le point de départ A(1 ; 0).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Placez.

Où est la nacelle pour x = π/2 ?
✔ Corrigé :
En haut, au point (0 ; 1).
Pour x = π ?
✔ Corrigé :
Au point (−1 ; 0).
Pour x = 2π ?
✔ Corrigé :
Revenue en A : un tour complet.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Convertissez.

60° en radians ?
✔ Corrigé :
π/3.
π/4 rad en degrés ?
✔ Corrigé :
45°.
Quel angle en degrés pour x = 5π/6 ?
✔ Corrigé :
150°.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Expliquez à un camarade (6 lignes) pourquoi un tour complet correspond à 2π radians et comment convertir des degrés en radians. Pour bien commencer : Le cercle a pour rayon 1, donc son périmètre est… · Un tour complet correspond à… · Pour convertir, on utilise…

✔ Corrigé rédigé :

Périmètre 2π ; enroulement ; proportionnalité avec π rad = 180° ; exemple juste ; clarté.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Le cercle trigonométrique a pour rayon 1. Un tour complet correspond à 2π radians. π radians correspondent à 180 degrés. Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Cosinus, sinus et fonction sinus

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Pourquoi la tension du secteur est‑elle « sinusoïdale » ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · La fonction sinus

Le cosinus et le sinus du réel x sont l'abscisse et l'ordonnée du point image M : M(cos x ; sin x). Donc −1 ⩽ cos x ⩽ 1, −1 ⩽ sin x ⩽ 1 et, par Pythagore, cos² x + sin² x = 1. Valeurs à connaître : sin(π/6) = 0,5 ; cos(π/3) = 0,5 ; sin(π/4) = cos(π/4) ≈ 0,707 ; sin(π/2) = 1. En reportant sin x pour chaque x, on construit point par point la courbe de la fonction sinus : une sinusoïde, périodique de période 2π. La fonction cosinus s'obtient par translation.

Document 1 · La tension du secteur

Situation-problème.

La tension délivrée par une prise électrique est modélisée par u(t) = 325 sin(100πt), où t est en secondes et u en volts. Un oscilloscope affiche la courbe.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lisez sur le cercle.

cos(π/3) et sin(π/3) ?
✔ Corrigé :
0,5 et environ 0,866.
sin(π) ?
✔ Corrigé :
0.
Si sin x = 0,6 avec x entre 0 et π/2, cos x ?
✔ Corrigé :
√(1 − 0,36) = 0,8.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez la tension.

Tension maximale ?
✔ Corrigé :
325 V, car sin vaut au plus 1.
Période (100πT = 2π) ?
✔ Corrigé :
T = 0,02 s.
Fréquence ?
✔ Corrigé :
1/0,02 = 50 Hz.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note pour un apprenti électricien (6 à 8 lignes) : que signifie « tension sinusoïdale de 50 Hz » et que représente 325 V ? Pour bien commencer : Une tension sinusoïdale varie… · Le motif se répète toutes les… · La valeur 325 V est…

✔ Corrigé rédigé :

Période 0,02 s et fréquence 50 Hz ; valeur maximale ; lien avec la fonction sinus ; vocabulaire précis.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Le point image M de x a pour coordonnées (cos x ; sin x). Pour tout réel x, cos² x + sin² x = 1. La fonction sinus est périodique de période 2π. Une tension de période 0,02 s a une fréquence de 50 Hz.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Le cercle trigonométrique a pour rayon 1.

Une mesure de l'angle plat est π radians.

Pour tout réel x, cos² x + sin² x = 1.

La fonction sinus est périodique de période 2π.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Convertissez 60° en radians et 3π/4 radians en degrés.	4 pts	π/3 ; 135°. 2 points chacun.
2	Donnez cos(π/3), sin(π/6), sin(π/2) et cos(π). Puis, sachant que sin(x) = 0,6 avec x entre 0 et π/2, calculez cos(x).	8 pts	0,5 ; 0,5 ; 1 ; −1 (4 pts). cos² x = 1 − 0,36 = 0,64, cos x = 0,8 car x est entre 0 et π/2 (4 pts).
3	La tension du secteur est modélisée par u(t) = 325 sin(100πt), t en secondes. Calculez la période, la fréquence et la tension maximale, puis expliquez pourquoi on parle de phénomène périodique. Pour bien commencer : La période est… · La fréquence est donc… · On parle de phénomène périodique car…	8 pts	Période 2π/(100π) = 0,02 s ; fréquence 50 Hz ; tension maximale 325 V. Le motif se répète identique toutes les 0,02 s. Calculs (5 pts), explication (3 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : proportionnalité, valeurs approchées de π, lecture de graphique.
Pour aller plus loin : construire point par point la courbe du sinus avec un logiciel de géométrie dynamique gratuit.