Version élève → Mathématiques · Lycée professionnel · 2de · Seconde

Séquence 4 · Résolution d'un problème du premier degré : équations et inéquations

Comment traduire une situation professionnelle par une équation ou une inéquation, la résoudre et vérifier le résultat ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

inconnue, équation du premier degrésolution, vérificationinéquation, ensemble des solutionsintervalleméthode algébrique, graphique, numérique

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Équation
Égalité contenant une inconnue ; la résoudre, c'est trouver la ou les valeurs qui la rendent vraie.
Règles
On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
Inéquation
Inégalité contenant une inconnue ; ses solutions forment souvent un intervalle.
Changement de sens
Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité.
Vérification
On remplace la solution dans l'énoncé pour contrôler le résultat.
Méthode graphique
On lit l'abscisse du point d'intersection de deux droites.

Repères

DateÉvénement
vers 1650 av. J.‑C.Le papyrus Rhind résout des problèmes par la méthode de fausse position.
vers 820Al‑Khwarizmi donne son nom à l'algèbre (al‑jabr).
1557Robert Recorde introduit le signe = dans The Whetstone of Witte.
1637Descartes note les inconnues x, y, z.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Mettre en équation et résoudre

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Combien d'heures ont été facturées ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Équation du premier degré

Pour résoudre un problème : 1. choisir l'inconnue (avec son unité) ; 2. traduire l'énoncé par une équation ; 3. la résoudre ; 4. vérifier en remplaçant ; 5. rédiger une phrase réponse. Règles : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, multiplier ou diviser par un même nombre non nul. Exemple : 45 + 38x = 216 ⟺ 38x = 171 ⟺ x = 4,5. On peut aussi résoudre graphiquement (abscisse du point d'intersection de deux droites) ou avec la calculatrice et le tableur (valeur cible).

Document 1 · La facture d'intervention

Situation-problème.

Une entreprise d'électricité facture 45 € de déplacement et 38 € par heure. Un client reçoit une facture de 216 € hors taxes et demande combien d'heures ont été comptées. Un second client, facturé 140 €, conteste : il estime que l'électricien est resté 3 heures.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Identifiez les données.

  1. Quelle est l'inconnue ?
  2. Quelle équation pour le premier client ?
  3. Et pour le second ?

Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez et vérifiez.

  1. Premier client ?
  2. Second client ?
  3. Vérifiez les deux résultats.

Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez la réponse au second client (6 à 8 lignes) : sa contestation est‑elle fondée ? Pour bien commencer : La facture se calcule ainsi : … · En résolvant l'équation, on trouve… · Pour 3 heures, la facture aurait été…

Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

inconnuemembresréponsevérifie

Pour résoudre un problème, on choisit l'________, on écrit l'équation, on la résout puis on _______. On peut ajouter un même nombre aux deux _______. On termine par une phrase _______.

Séance 2 · Inéquations et seuils

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Combien de prestations pour couvrir ses frais ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Inéquation du premier degré

Une inéquation traduit une condition : « au moins » (≥), « au plus » (≤), « plus de » (>), « moins de » (<). On la résout comme une équation, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité. L'ensemble des solutions est un intervalle : x ≥ 95,45 s'écrit [95,45 ; +∞[. Dans un problème, on interprète : si x est un nombre entier (pièces, coupes, jours), on arrondit dans le bon sens.

Document 1 · Le fauteuil de coiffure

Situation-problème.

Une coiffeuse indépendante loue un fauteuil dans un salon 600 € par mois. Elle gagne en moyenne 22 € net par coupe. Elle veut que ses gains, location déduite, atteignent au moins 1 500 € par mois.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Traduisez.

  1. Gain après location pour 80 coupes ? pour 100 ?
  2. Inéquation à résoudre ?
  3. Que signifie x ?

Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Résolvez.

  1. Résolvez l'inéquation.
  2. Combien de coupes au minimum ?
  3. Résolvez −3x + 12 > 0.

Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un conseil (6 à 8 lignes) : avec 5 jours de travail par semaine et 4 semaines par mois, combien de coupes par jour faut‑il viser ? Pour bien commencer : Il faut au moins… coupes par mois… · Sur 20 jours de travail, … · Je conseille donc…

Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

arronditchangeintervalle≥

Multiplier une inéquation par un nombre négatif ______ le sens de l'inégalité. L'ensemble des solutions est un __________. Pour un nombre entier de pièces, on ________ dans le bon sens. « Au moins » se traduit par le symbole ______.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

ax = bchangeintervalleremplace

Une équation du premier degré se ramène à la forme ______.

Quand on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, on ______ le sens de l'inégalité.

Pour contrôler une solution, on la ________ dans l'équation de départ.

L'ensemble des solutions d'une inéquation s'écrit souvent avec un __________.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :