Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Représenter une fonction affine, interpréter coefficient directeur et ordonnée à l'origine
- Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux nombres et de leurs images
- Résoudre graphiquement ou avec un outil numérique un système de deux équations
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Nicole Oresme, représentation graphique des variations (vers 1350)
- Descartes, *La Géométrie* (1637)
- Gauss, méthode d'élimination pour les systèmes (1809)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Systèmes : « Les systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues sont introduits dans ce module. Leur résolution se fait graphiquement, à l'aide d'outils numériques. »
Situations : « Les situations choisies permettent d'approcher les grands débats de société, par exemple autour du développement durable, et de traiter des problématiques parfaitement identifiées. »
Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Fonction linéaire
- f(x) = ax ; elle modélise une situation de proportionnalité ; sa droite passe par l'origine.
- Fonction affine
- f(x) = ax + b ; sa représentation est une droite.
- Coefficient directeur
- a : variation de f(x) quand x augmente de 1 ; a = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁).
- Ordonnée à l'origine
- b = f(0) ; la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b).
- Sens de variation
- Croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0.
- Système
- Deux équations à deux inconnues ; graphiquement, sa solution est le point d'intersection des deux droites.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| vers 1350 | Nicole Oresme représente graphiquement des grandeurs variables. |
| 1637 | Descartes relie équations et droites. |
| 1809 | Gauss utilise la méthode d'élimination pour résoudre des systèmes. |
| 1979 | Le tableur VisiCalc rend les calculs de tarifs accessibles sur micro‑ordinateur. |
Les historiens en débat
La fonction affine est le modèle le plus simple d'une relation entre deux grandeurs : un coût fixe plus un coût proportionnel. La comparer graphiquement à une autre offre est un geste quotidien du commerce et de la gestion. Le programme demande de résoudre les systèmes graphiquement ou avec un outil numérique, sans technicité algébrique. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Stella Baruk, Dictionnaire de mathématiques élémentaires, Seuil, 1992.
- Hans Rosling, Factfulness, Flammarion, 2019.
- Mickaël Launay, Le Grand Roman des maths, Flammarion, 2016.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Fonctions affines | 65 min | modéliser un tarif par une fonction affine et l'interpréter |
| Séance 2 | Comparer deux offres : systèmes | 65 min | résoudre graphiquement un système et décider |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Fonctions affines
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Comment calculer le prix d'une course de taxi ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Fonction affine
Une fonction affine s'écrit f(x) = ax + b. Si b = 0, elle est linéaire et traduit une situation de proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite : b est l'ordonnée à l'origine (f(0) = b), a est le coefficient directeur (quand x augmente de 1, f(x) augmente de a). Pour tracer la droite, deux points suffisent. Pour trouver a et b à partir de deux nombres et de leurs images : a = (f(x₂) − f(x₁))/(x₂ − x₁), puis b = f(x₁) − a x₁. Si a > 0, f est croissante ; si a < 0, décroissante.
Document 1 · Le taxi
Situation-problème.
Un taxi facture une prise en charge fixe et un prix par kilomètre. Une course de 10 km coûte 21 € et une course de 20 km coûte 39 €.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Analysez les données.
- Le prix est‑il proportionnel à la distance ?✔ Corrigé :
Non : 39 n'est pas le double de 21.
- De combien augmente le prix pour 10 km de plus ?✔ Corrigé :
18 €, soit 1,80 € par km.
- Prise en charge ?✔ Corrigé :
21 − 18 = 3 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Modélisez.
- Expression de f(x) ?✔ Corrigé :
f(x) = 1,8x + 3.
- Prix pour 7 km ? Distance pour 30 € ?✔ Corrigé :
15,60 € ; 1,8x + 3 = 30, x = 15 km.
- Tracez la droite sur [0 ; 30] (points (0 ; 3) et (30 ; 57)).✔ Corrigé :
Droite croissante.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un affichage clair pour la station de taxis (6 lignes) expliquant le calcul du prix, avec un exemple et la lecture graphique. Pour bien commencer : Le prix d'une course se calcule… · Par exemple, pour… km, … · Sur le graphique, on lit…
Formule f(x) = 1,8x + 3 ; interprétation de 3 et 1,8 ; exemple juste ; lecture graphique ; phrases simples.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
La représentation d'une fonction affine est une droite. b est l'ordonnée à l'origine. a est le coefficient directeur. Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Comparer deux offres : systèmes
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quel imprimeur choisir ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Systèmes de deux équations
Deux offres affines se comparent sur un même graphique. Le point d'intersection des deux droites donne la quantité pour laquelle les prix sont égaux : ses coordonnées sont la solution du système formé par les deux équations. Avant ce point, l'offre dont la droite est en dessous est la moins chère ; après, l'autre. On résout graphiquement (GeoGebra : commande Intersection) ou avec la calculatrice ou le tableur. Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles : le système n'a pas de solution et une offre est toujours moins chère.
Document 1 · Les flyers de l'association
Situation-problème.
Une association doit faire imprimer des flyers. Imprimerie A : 0,12 € le flyer. Imprimerie B : 30 € de frais fixes et 0,07 € le flyer. L'association hésite entre 400 et 1 000 flyers.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Modélisez.
- Fonctions A(x) et B(x) ?✔ Corrigé :
A(x) = 0,12x ; B(x) = 0,07x + 30.
- Prix pour 400 flyers ?✔ Corrigé :
A : 48 € ; B : 58 €.
- Pour 1 000 flyers ?✔ Corrigé :
A : 120 € ; B : 100 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Résolvez le système.
- Tracez les deux droites sur [0 ; 1 200] avec GeoGebra.✔ Corrigé :
A part de l'origine, B de 30 ; elles se croisent.
- Coordonnées du point d'intersection ?✔ Corrigé :
(600 ; 72).
- Vérifiez par le calcul.✔ Corrigé :
0,12 × 600 = 72 et 0,07 × 600 + 30 = 72.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un message au trésorier (6 à 8 lignes) : quelle imprimerie choisir selon le nombre de flyers ? Pour bien commencer : Les deux tarifs sont égaux pour… · En dessous de 600 flyers, … · Je recommande donc…
Intersection (600 ; 72) ; zones de choix ; recommandations pour 400 et 1 000 ; vérification ; ton professionnel.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Le point d'intersection des deux droites donne la quantité pour laquelle les prix sont égaux. Avant ce point, l'offre dont la droite est en dessous est la moins chère. Deux droites de même coefficient directeur sont parallèles. On résout un système graphiquement ou avec un outil numérique.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Valider, communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
La courbe d'une fonction affine f(x) = ax + b est une droite.
b est l'ordonnée à l'origine de la droite.
Si a > 0, la fonction affine est croissante.
La solution d'un système de deux équations correspond au point d'intersection des deux droites.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | f(x) = −2x + 5. Calculez f(0), f(3) ; donnez le coefficient directeur, l'ordonnée à l'origine et le sens de variation. | 4 pts | 5 ; −1 ; −2 ; 5 ; décroissante. Un point pour les images, trois points pour le reste. |
| 2 | Une entreprise de taxi facture 3 € de prise en charge et un prix au km. Une course de 10 km coûte 21 €. Déterminez la fonction affine f donnant le prix pour x km, puis le prix d'une course de 25 km. | 8 pts | f(x) = ax + 3, f(10) = 21 donne a = 1,8 : f(x) = 1,8x + 3 ; f(25) = 48 €. Expression (5 pts), calcul (3 pts). |
| 3 | Une imprimerie propose deux tarifs pour des flyers : A : 0,12 € l'unité ; B : 30 € de frais fixes et 0,07 € l'unité. Représentez les deux fonctions avec GeoGebra ou la calculatrice, résolvez le système et conseillez une association qui hésite entre 400 et 1 000 flyers. Pour bien commencer : *Les deux tarifs se modélisent par…* · *Les droites se coupent au point…* · *Pour 400 flyers, … ; pour 1 000, …* | 8 pts | y = 0,12x et y = 0,07x + 30 se coupent pour x = 600, y = 72 €. Pour 400 flyers, A (48 € contre 58 €) ; pour 1 000, B (100 € contre 120 €). Graphique (3 pts), intersection (3 pts), conseil (2 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : lire une image ou un antécédent sur un graphique, calculer une proportion.
- Pour aller plus loin : écrire en Python une fonction qui renvoie le tarif le moins cher pour un nombre de flyers donné.