Version élève → Mathématiques · Lycée professionnel · 2de · Seconde

Séquence 6 · Fonction carré et fonctions x ↦ kx² : distances de freinage et aires

Pourquoi la distance de freinage est‑elle multipliée par 4 quand la vitesse double ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

fonction carré, paraboletableau de variations, minimumfonction x ↦ kx²fonction x ↦ f(x) + kéquation kx² = c

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Fonction carré
f(x) = x², définie sur ℝ, toujours positive ou nulle.
Parabole
Courbe de la fonction carré, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, de sommet O(0 ; 0).
Variations
Décroissante sur ]−∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[ ; minimum 0 en x = 0.
Fonction kx²
Si k > 0, même allure que x² (plus « fermée » si k > 1) ; si k < 0, parabole tournée vers le bas.
Fonction f(x) + k
Sa courbe se déduit de celle de f par une translation verticale de k.
Équation kx² = c
Si c/k > 0, deux solutions √(c/k) et −√(c/k) ; dans un contexte, on garde la solution positive.

Repères

DateÉvénement
vers 200 av. J.‑C.Apollonius étudie la parabole comme section d'un cône.
1638Galilée montre que la distance de chute est proportionnelle au carré du temps.
1687Newton explique ces lois par la gravitation.
1921Le premier code de la route français moderne est publié.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · La fonction carré

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

À quoi ressemble la courbe de x² ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Fonction carré

La fonction carré f(x) = x² est définie pour tout réel x ; x² est toujours positif ou nul, et (−x)² = x². Sa courbe est une parabole de sommet O, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est décroissante sur ]−∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[ ; son minimum est 0, atteint en 0. Pour la tracer, on fait un tableau de valeurs puis on relie les points par une courbe (pas des segments). L'équation x² = c a deux solutions √c et −√c si c > 0, une seule (0) si c = 0, aucune si c < 0.

Document 1 · Le carrelage

Situation-problème.

Un carreleur vend des dalles carrées. Le prix d'une dalle est proportionnel à sa surface. Il veut afficher la surface d'une dalle en fonction de la longueur x de son côté (en dm), pour x entre 0 et 6.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

  1. Surface pour x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ?
  2. La surface est‑elle proportionnelle au côté ?
  3. Quelle fonction modélise la surface ?

Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez la fonction carré sur [−4 ; 4].

  1. Tableau de valeurs pour x = −4, −2, −1, 0, 1, 2, 4.
  2. Tableau de variations ?
  3. Résolvez x² = 20 ; quel côté pour une dalle de 20 dm² ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une explication pour l'affichage du carreleur (6 lignes) : pourquoi une dalle de côté double coûte‑t‑elle 4 fois plus cher ? Pour bien commencer : La surface d'une dalle est… · Si le côté double, … · Le prix étant proportionnel à la surface, …

Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

0parabolepositif−5

La courbe de la fonction carré est une ________. Le carré d'un nombre est toujours _______ ou nul. La fonction carré a pour minimum ______. L'équation x² = 25 a pour solutions 5 et ______.

Séance 2 · Les fonctions kx² et f(x) + k

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quelle distance pour freiner à 90 km/h ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Famille de paraboles

Pour k > 0, la courbe de x ↦ kx² a la même allure que la parabole de x² : elle est plus resserrée si k > 1, plus ouverte si 0 < k < 1 ; ses variations sont les mêmes que celles de x² (si k < 0, elles sont inversées et la parabole est tournée vers le bas). La courbe de x ↦ f(x) + k se déduit de celle de f par une translation verticale de k ; les variations sont les mêmes. Pour résoudre kx² = c : x² = c/k, puis x = √(c/k) ou −√(c/k) ; dans un problème, on garde la solution qui a du sens (vitesse positive).

Document 1 · Le freinage

Situation-problème.

En formation à la sécurité routière, on modélise la distance de freinage sur route sèche par d(v) = 0,006v² et sur route mouillée par d(v) = 0,009v² (d en m, v en km/h). La distance de réaction, parcourue pendant une seconde, vaut environ v/3,6 mètres.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez.

  1. Distance de freinage à 90 km/h sur route sèche et mouillée ?
  2. Comparez les deux courbes sur GeoGebra.
  3. À quelle vitesse freine‑t‑on sur 54 m sur route sèche ?

Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min
Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Exploitez le modèle.

  1. Si v passe de 50 à 100 km/h, comment évolue d(v) ?
  2. Distance d'arrêt (réaction + freinage) à 90 km/h sur route sèche ?
  3. La fonction x ↦ 0,006x² + 25 a‑t‑elle les mêmes variations ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un paragraphe de prévention (8 lignes) destiné aux élèves qui passent le permis : pourquoi la pluie et la vitesse allongent‑elles autant la distance d'arrêt ? Pour bien commencer : Sur route mouillée, le coefficient passe de… à… · Quand la vitesse double, … · C'est pourquoi …

Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

c/kpositifsenstranslation

La courbe de x ↦ kx² a la même allure que celle de x² si k est _______. La courbe de f(x) + k se déduit de celle de f par une ___________ verticale. Pour résoudre kx² = c, on calcule d'abord ______. Dans un problème, on garde la solution qui a du ______.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

4décroissanteparabolex²

La courbe de la fonction carré est une ________.

La fonction carré est ____________ sur les négatifs et croissante sur les positifs.

Si k > 0, la courbe de x ↦ kx² a la même allure que celle de x ↦ ______.

Si la vitesse est multipliée par 2, une grandeur proportionnelle à v² est multipliée par ______.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :