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Séquence 1 · Suites géométriques : évolutions à taux fixe

Comment modéliser une valeur qui augmente ou diminue chaque année du même pourcentage, et la comparer à une évolution régulière ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

coefficient multiplicateur 1 + tsuite géométrique de raison q > 0terme de rang n : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹sens de variation selon qsomme de termes, comparaison avec une suite arithmétique

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Coefficient multiplicateur
Une hausse de t % correspond à une multiplication par 1 + t/100 ; une baisse de t %, par 1 − t/100.
Suite géométrique
Chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par un même nombre q > 0, la raison : uₙ₊₁ = uₙ × q.
Terme de rang n
Si le premier terme est u₁ : uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹.
Sens de variation
Pour u₁ > 0 : croissante si q > 1, décroissante si q est entre 0 et 1, constante si q = 1.
Somme de termes
Calculée au tableur ou avec Python ; la formule n'est pas exigée.
Comparaison
Une suite arithmétique ajoute une quantité fixe ; une suite géométrique ajoute un pourcentage fixe d'une quantité qui change.

Repères

DateÉvénement
XIIIe s.Ibn Khallikan rapporte la légende de l'échiquier.
1798Malthus oppose progression géométrique et arithmétique.
1979Tableur VisiCalc : les calculs d'intérêts deviennent instantanés.
aujourd'huiAmortissements, intérêts composés, inflation : les suites géométriques au quotidien.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · Taux fixe et suite géométrique : la dépréciation d'une machine

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quand la machine vaudra-t-elle moins de 5 000 € ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Suites géométriques

Baisser une valeur de t % revient à la multiplier par 1 − t/100 (le coefficient multiplicateur) ; l'augmenter de t %, à la multiplier par 1 + t/100. Une suite est géométrique si l'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q > 0, la raison : uₙ₊₁ = uₙ × q. Alors uₙ = u₁ × qⁿ⁻¹. Pour u₁ > 0, la suite est croissante si q > 1 et décroissante si 0 < q < 1. Le nuage de points (n ; uₙ) n'est pas aligné : il se courbe. On trouve un rang de seuil au tableur ou avec une boucle while.

Document 1 · Valeur d'une machine-outil

Situation professionnelle.

Une entreprise achète une machine 20 000 €. Sa valeur diminue de 15 % par an. On note vₙ sa valeur au début de l'année n (v₁ = 20 000 €).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez les premières valeurs.

  1. Coefficient multiplicateur ?
  2. v₂ et v₃ ?
  3. La baisse en euros est-elle la même chaque année ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Calculs

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Utilisez la formule et le tableur.

  1. Expression de vₙ ?
  2. v₅ (arrondie à l'euro) ?
  3. À partir de quelle année la valeur passe-t-elle sous 5 000 € ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Formule et seuil

Activité 3 · Valider

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Un collègue affirme : « 15 % par an, en 7 ans la machine ne vaut plus rien. » Réfutez cette affirmation en 5 à 8 lignes avec des calculs. Pour bien commencer : Chaque année, la valeur est multipliée par… · Après 7 ans, la machine vaut encore… · L'affirmation est donc fausse car…

Ce qui est attendu (7 pts) : Validation · Communication

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

1 − t/100additionnentgéométrique

Baisser de t % revient à multiplier par _________. Une suite est ___________ si l'on multiplie toujours par la même raison q. Les pourcentages successifs ne s'____________ pas.

Séance 2 · Arithmétique ou géométrique ? Choisir une offre salariale

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Quelle proposition de salaire est la plus avantageuse ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Comparer deux modèles

Une suite arithmétique augmente d'une quantité fixe (on ajoute r) ; une suite géométrique augmente d'un pourcentage fixe (on multiplie par q). Au début, l'écart dépend des premiers termes ; mais une suite géométrique de raison q > 1 finit toujours par dépasser une suite arithmétique, car le pourcentage porte sur une base qui grandit. Pour comparer deux offres, il faut regarder chaque terme (salaire d'une année) et aussi la somme cumulée (total perçu), calculée au tableur.

Document 1 · Deux offres d'embauche

Situation professionnelle.

Offre A : 21 600 € la première année, puis augmentation de 600 € par an. Offre B : 21 000 € la première année, puis augmentation de 3 % par an. On note aₙ et bₙ les salaires annuels bruts de l'année n.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · Analyser, raisonner

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Identifiez les modèles.

  1. Nature de chaque suite ?
  2. Expressions ?
  3. Salaires de l'année 2 ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Modélisation

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Comparez au tableur sur 10 ans.

  1. Année 7 ?
  2. À partir de quelle année l'offre B est-elle meilleure ?
  3. Totaux sur 10 ans ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Comparaison

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Conseillez un ami (8 à 10 lignes) : quelle offre choisir s'il pense rester 5 ans ? 10 ans ? 20 ans ? Justifiez avec les calculs. Pour bien commencer : Sur 5 ans, l'offre… rapporte… · Sur 10 ans et 20 ans, … · Je te conseille donc…

Ce qui est attendu (7 pts) : Argumentation · Communication

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

cumuléfixepourcentage

Une suite arithmétique ajoute une quantité ______ ; une suite géométrique augmente d'un ___________ fixe. Pour comparer deux offres, on compare chaque année et le total ______.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

arithmétiquecroissantemultiplicateurraison

Augmenter de t % revient à multiplier par le coefficient ______________ 1 + t/100.

Une suite est géométrique si l'on multiplie toujours par le même nombre q, la ______.

Si q > 1 (et u₁ > 0), la suite est __________ ; si q est entre 0 et 1, elle est décroissante.

À long terme, une croissance géométrique finit par dépasser une croissance ____________.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :