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Séquence 2 · Fonctions exponentielles et logarithme décimal : croissance, pH, décibels

Comment décrire des grandeurs qui varient par multiplication (bactéries, acidité, bruit) et résoudre les équations qu'elles posent ?

Bonjour !

Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».

À la fin, je serai capable de :

Les mots importants

fonction exponentielle de base q (q > 0, q ≠ 1)propriétés opératoires des puissanceslogarithme décimal log, log(10ˣ) = xlog(ab) = log a + log b ; log(aⁿ) = n log apH, niveau sonore en décibels

Ressources de la séquence

Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.

Les notions à maîtriser

Fonction exponentielle de base q
x ↦ qˣ (q > 0, q ≠ 1) : prolongement aux réels de la suite géométrique 1, q, q², … ; croissante si q > 1, décroissante si q < 1.
Propriétés opératoires
qᵃ⁺ᵇ = qᵃ × qᵇ ; (qᵃ)ᵇ = qᵃᵇ.
Logarithme décimal
Pour b > 0, log(b) est l'unique solution de 10ˣ = b ; log(10ˣ) = x ; log 1 = 0 ; log 10 = 1.
Propriétés du logarithme
log(ab) = log a + log b ; log(a/b) = log a − log b ; log(aⁿ) = n log a ; la fonction log est croissante.
Résoudre qˣ = a
x = log a / log q (calcul), ou graphiquement, ou par balayage.
pH et décibels
pH = −log[H3O+] ; L = 10 log(I/I₀) : des échelles logarithmiques pour des grandeurs qui varient sur plusieurs puissances de 10.

Repères

DateÉvénement
1614Napier, Mirifici logarithmorum canonis descriptio.
1624Briggs, Arithmetica logarithmica : tables décimales.
1909Sørensen définit le pH.
années 1920Les laboratoires Bell introduisent le bel et le décibel.

Pour aller plus loin

Sources et bibliographie

Mon parcours : je choisis mon rythme

Séance 1 · De la suite géométrique à la fonction exponentielle : la croissance bactérienne

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Au bout de combien de temps une culture de bactéries atteint-elle 10 000 individus ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Fonctions exponentielles

Si une population double chaque heure, ses valeurs aux heures entières forment une suite géométrique de raison 2. La fonction exponentielle de base q (q > 0, q ≠ 1), x ↦ qˣ, prolonge cette suite à tous les réels positifs : elle donne la valeur au bout de 1,5 h, par exemple. Elle est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1. Propriétés (admises après conjecture) : qᵃ⁺ᵇ = qᵃ × qᵇ. Pour résoudre qˣ = a, on lit la courbe, on fait un balayage, ou on calcule x = log a / log q (séance 2).

Document 1 · Une culture de bactéries en laboratoire

Situation professionnelle (laboratoire, agroalimentaire).

Une culture contient 1 000 bactéries à l'instant t = 0 ; leur nombre double toutes les heures, dans des conditions idéales. On modélise par N(t) = 1 000 × 2ᵗ (t en heures).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min
Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lien avec les suites.

  1. N(1), N(2), N(3) ?
  2. Quelle suite reconnaissez-vous ?
  3. N(1,5) ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Calculs

Activité 2 · Réaliser

18 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Tracez N dans GeoGebra de 0 à 5.

  1. Sens de variation ?
  2. Résolvez 2ᵗ = 8.
  3. Par balayage, quand atteint-on 10 000 bactéries ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Graphique et résolution

Activité 3 · Valider

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Le modèle prévoit environ 17 milliards de bactéries en 24 heures (1 000 × 2²⁴ ≈ 1,7 × 10¹⁰). Expliquez en 5 à 8 lignes pourquoi ce modèle ne peut pas rester valable longtemps. Pour bien commencer : Le modèle suppose que la population double… · En réalité, la nourriture et l'espace… · Le modèle n'est donc valable que…

Ce qui est attendu (7 pts) : Validation · Communication

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

balayagecroissantegéométrique

La fonction x ↦ qˣ prolonge la suite ___________ de raison q. Si q > 1, elle est __________. On résout qˣ = a graphiquement, par ________ ou par le calcul.

Séance 2 · Le logarithme décimal : pH et décibels

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.

La question du jour

Pourquoi le pH et les décibels utilisent-ils une échelle logarithmique ?

Mon plan de travail

Le cours à lire · Logarithme décimal

La fonction x ↦ 10ˣ est croissante et prend toutes les valeurs strictement positives. Pour b > 0, le logarithme décimal de b, noté log(b), est l'unique solution de l'équation 10ˣ = b. Donc log(10ˣ) = x : log 1000 = 3, log 0,01 = −2. Propriétés : log(ab) = log a + log b, log(aⁿ) = n log a. Elles permettent de résoudre qˣ = a : x log q = log a. En chimie, pH = −log[H3O+] ; en acoustique, L = 10 log(I/I₀) en décibels. Une multiplication de la grandeur devient une addition sur l'échelle.

Document 1 · Bruit et acidité au travail

Données scientifiques et réglementaires.

pH = −log[H3O+], avec [H3O+] en mol/L. Niveau sonore : L = 10 log(I/I₀), avec I₀ = 10⁻¹² W/m². Au travail, une exposition quotidienne de 80 dB(A) déclenche des premières mesures de prévention, 85 dB(A) impose un programme de réduction du bruit et le port des protections, 87 dB(A) est la valeur limite.

Source : Formules du programme de physique-chimie ; seuils : article R. 4431-2 du Code du travail.

Pour bien lire ce document :

https://code.travail.gouv.fr/code-du-travail/r4431-2

Activité 1 · Réaliser

15 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Calculez des pH.

  1. pH si [H3O+] = 10⁻³ ?
  2. pH si [H3O+] = 2,5 × 10⁻⁴ ?
  3. [H3O+] si pH = 2,5 ?

Ce qui est attendu (7 pts) : Calculs de pH

Activité 2 · Analyser, raisonner

15 min
Essentiel

Supports : Document 1, cours

Consigne :

Étudiez les décibels.

  1. Si l'intensité est multipliée par 2, de combien augmente L ?
  2. Si elle est multipliée par 10 ?
  3. Pourquoi une échelle logarithmique ?

Ce qui est attendu (6 pts) : Raisonnement

Activité 3 · Communiquer

15 min
Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Un atelier mesure 82 dB(A). Un salarié propose d'ajouter une seconde machine identique « puisque ça ne fera que 84 dB ». Répondez-lui en 6 à 8 lignes avec un calcul et la réglementation. Pour bien commencer : Doubler l'intensité sonore ajoute environ… dB · Avec deux machines, le niveau devient… · La réglementation impose…

Ce qui est attendu (7 pts) : Argumentation · Communication

Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)

Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.

3bsomme

log(b) est la solution de 10ˣ = ______. Le logarithme transforme un produit en ______. Doubler l'intensité sonore ajoute environ ______ décibels.

Fiche à trous · je complète

Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).

3bcroissantesomme

Une fonction exponentielle de base q > 1 est __________.

log(b) est l'unique solution de l'équation 10ˣ = ______.

Le logarithme transforme un produit en ______ : log(ab) = log a + log b.

Doubler l'intensité sonore ajoute environ ______ décibels.

Ce que j'ai appris

Les 3 idées que je retiens :
Une méthode ou une formule que je veux retenir :
Ce qui reste difficile pour moi / ma question pour le professeur :