Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Choisir, avec l'outil numérique, un modèle adapté pour ajuster un nuage de points
- Se ramener à un ajustement affine par un changement de variable indiqué, comme z = log(y)
- Interpoler ou extrapoler et juger la pertinence du modèle
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Ajustement exponentiel
- Modèle y = b × a puissance x : évolution à taux constant.
- Changement de variable
- On pose z = log(y) ; si z est proche d'une fonction affine de x, l'ajustement exponentiel est adapté.
- Retour aux variables initiales
- Si z = cx + d, alors y = 10 puissance d × (10 puissance c) puissance x.
- Coefficient de détermination
- Indicateur fourni par l'outil numérique ; on compare les R² des modèles.
- Extrapolation
- Prévision en dehors des données, d'autant plus risquée qu'on s'en éloigne.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1614 | Napier publie les premières tables de logarithmes. |
| 1805 | Legendre publie la méthode des moindres carrés. |
| XXe siècle | Le papier semi‑logarithmique permet aux ingénieurs de repérer d'un coup d'oeil une évolution exponentielle. |
| Aujourd'hui | Les tableurs proposent plusieurs courbes de tendance et leur R². |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.
- Jordan Ellenberg, L'Art de ne pas dire n'importe quoi, Cassini, 2017.
- Hans Rosling, Factfulness, Flammarion, 2019.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Une évolution exponentielle
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Comment modéliser la perte de valeur d'une machine ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Changement de variable
Quand les valeurs sont multipliées par un même coefficient à chaque étape, l'évolution est exponentielle : y = b × a puissance x. Le nuage de points (x ; y) se courbe et un ajustement affine est mauvais. On pose alors z = log(y). Comme log(b × a puissance x) = log(b) + x × log(a), les points (x ; z) sont alignés : on réalise un ajustement affine de z en x, puis on revient à y. Le tableur peut aussi proposer directement une courbe de tendance exponentielle.
Document 1 · L'amortissement d'une machine
Situation-problème.
Une imprimerie achète une machine 20 000 €. Sa valeur de revente est relevée chaque année : 20 000 ; 16 000 ; 12 800 ; 10 240 ; 8 192 ; 6 554 (pour x = 0 à 5).
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Observez.
- Rapport entre deux valeurs successives ?
- Pourcentage de baisse annuelle ?
- Le nuage est‑il aligné ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Linéarisez au tableur.
- Calculez z = log(y) pour chaque année.
- Ajustement affine de z en x ?
- Retour à y ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note au gérant (6 à 8 lignes) : quelle valeur prévoir après 8 ans ? Peut‑on se fier à cette prévision ? Pour bien commencer : Le modèle obtenu est… · Après 8 ans, la machine vaudrait… · Cette prévision est… car…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Une évolution où l'on multiplie par un même nombre est _____________. On pose z = ______(y). Les points (x ; z) sont alors _______. On revient ensuite aux variables _________.
Séance 2 · Choisir le bon modèle
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Les ventes de vélos électriques vont‑elles continuer à grimper ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Choisir un ajustement
Pour choisir un modèle, on observe la forme du nuage, on calcule éventuellement les différences (constantes pour un modèle affine) ou les rapports (constants pour un modèle exponentiel), et on compare les coefficients de détermination fournis par l'outil numérique. Le modèle retenu sert à interpoler (fiable) ou extrapoler (risqué, surtout loin des données). Un modèle reste une simplification : on le confronte au contexte (saturation d'un marché, contraintes physiques).
Document 1 · Les vélos électriques
Situation-problème.
Un magasin de cycles a vendu, de l'année 0 à l'année 4, 120 ; 150 ; 190 ; 235 ; 295 vélos électriques. Le gérant prépare ses commandes.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Comparez différences et rapports.
- Différences successives ?
- Rapports successifs ?
- Quel modèle semble adapté ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Utilisez le tableur.
- Ajustement affine et R² ?
- Ajustement exponentiel et R² ?
- Prévisions pour x = 5 ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un conseil au gérant (6 à 8 lignes) : quel modèle retenir, combien commander l'an prochain, et pourquoi ne pas prévoir à dix ans ? Pour bien commencer : Le modèle le plus pertinent est… · Pour l'an prochain, je prévois environ… · À long terme, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Des rapports presque constants suggèrent un modèle ___________. Des différences constantes suggèrent un modèle ______. On compare les coefficients de _____________. Une extrapolation lointaine est peu ______.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Un nuage qui « se courbe » n'est pas bien ajusté par une ______.
Si z = log(y) est une fonction affine de x, l'évolution de y est _____________.
Le coefficient de détermination le plus proche de ______ indique le modèle le plus pertinent.
Une prévision hors des données est une _____________.
Ce que j'ai appris
- Choisir, avec l'outil numérique, un modèle adapté pour ajuster un nuage de points
- Se ramener à un ajustement affine par un changement de variable indiqué, comme z = log(y)
- Interpoler ou extrapoler et juger la pertinence du modèle