Statistiques à deux variables : choisir un ajustement, affine ou non · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Terminale

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de Terminale professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 : suites géométriques, fonctions exponentielles et logarithme décimal (module mis en oeuvre avec la physique-chimie). Certification : arrêté du 17 juin 2020.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de terminale professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Statistique et probabilités », module « Statistiques à deux variables » (groupements A, B et C)

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Choisir, avec l'outil numérique, un modèle adapté pour ajuster un nuage de points
Se ramener à un ajustement affine par un changement de variable indiqué, comme z = log(y)
Interpoler ou extrapoler et juger la pertinence du modèle

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

ajustement affine, exponentielchangement de variable z = log(y)coefficient de détermination R²interpolation, extrapolationévolution à taux constant

Repères historiques

Legendre, moindres carrés (1805)
Napier, les logarithmes (1614)
Papier semi‑logarithmique, outil des ingénieurs (XXe siècle)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « L'objectif de ce module est d'approfondir la notion d'ajustement. »

Ajustements : « Les ajustements réalisés ne sont pas uniquement affines. »

Théorie : « Aucune justification théorique du modèle choisi n'est attendue. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Ajustement exponentiel: Modèle y = b × a puissance x : évolution à taux constant.
Changement de variable: On pose z = log(y) ; si z est proche d'une fonction affine de x, l'ajustement exponentiel est adapté.
Retour aux variables initiales: Si z = cx + d, alors y = 10 puissance d × (10 puissance c) puissance x.
Coefficient de détermination: Indicateur fourni par l'outil numérique ; on compare les R² des modèles.
Extrapolation: Prévision en dehors des données, d'autant plus risquée qu'on s'en éloigne.

Repères

Date	Événement
1614	Napier publie les premières tables de logarithmes.
1805	Legendre publie la méthode des moindres carrés.
XXe siècle	Le papier semi‑logarithmique permet aux ingénieurs de repérer d'un coup d'oeil une évolution exponentielle.
Aujourd'hui	Les tableurs proposent plusieurs courbes de tendance et leur R².

Les historiens en débat

Le logarithme, inventé par Napier pour simplifier les calculs astronomiques, transforme les produits en sommes : une évolution exponentielle devient alors une droite. C'est le principe du papier semi‑logarithmique, et du changement de variable z = log(y) que les tableurs effectuent aujourd'hui en un clic. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Darrell Huff, How to Lie with Statistics, W. W. Norton, 1954.
Jordan Ellenberg, L'Art de ne pas dire n'importe quoi, Cassini, 2017.
Hans Rosling, Factfulness, Flammarion, 2019.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Une évolution exponentielle	65 min	repérer une évolution à taux constant et la linéariser par z = log(y)
Séance 2	Choisir le bon modèle	65 min	comparer deux ajustements et prévoir avec prudence
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Une évolution exponentielle

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Comment modéliser la perte de valeur d'une machine ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Changement de variable

Quand les valeurs sont multipliées par un même coefficient à chaque étape, l'évolution est exponentielle : y = b × a puissance x. Le nuage de points (x ; y) se courbe et un ajustement affine est mauvais. On pose alors z = log(y). Comme log(b × a puissance x) = log(b) + x × log(a), les points (x ; z) sont alignés : on réalise un ajustement affine de z en x, puis on revient à y. Le tableur peut aussi proposer directement une courbe de tendance exponentielle.

Document 1 · L'amortissement d'une machine

Situation-problème.

Une imprimerie achète une machine 20 000 €. Sa valeur de revente est relevée chaque année : 20 000 ; 16 000 ; 12 800 ; 10 240 ; 8 192 ; 6 554 (pour x = 0 à 5).

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Observez.

Rapport entre deux valeurs successives ?
✔ Corrigé :
0,8 à chaque fois.
Pourcentage de baisse annuelle ?
✔ Corrigé :
20 %.
Le nuage est‑il aligné ?
✔ Corrigé :
Non, il se courbe.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Linéarisez au tableur.

Calculez z = log(y) pour chaque année.
✔ Corrigé :
4,301 ; 4,204 ; 4,107 ; 4,010 ; 3,913 ; 3,816.
Ajustement affine de z en x ?
✔ Corrigé :
z ≈ −0,0969x + 4,301, R² ≈ 1.
Retour à y ?
✔ Corrigé :
y ≈ 20 000 × 0,8 puissance x.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au gérant (6 à 8 lignes) : quelle valeur prévoir après 8 ans ? Peut‑on se fier à cette prévision ? Pour bien commencer : Le modèle obtenu est… · Après 8 ans, la machine vaudrait… · Cette prévision est… car…

✔ Corrigé rédigé :

20 000 × 0,8 puissance 8 ≈ 3 355 € ; extrapolation modérée ; hypothèse de taux constant ; rédaction claire.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Une évolution où l'on multiplie par un même nombre est exponentielle. On pose z = log(y). Les points (x ; z) sont alors alignés. On revient ensuite aux variables initiales.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Choisir le bon modèle

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Les ventes de vélos électriques vont‑elles continuer à grimper ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Choisir un ajustement

Pour choisir un modèle, on observe la forme du nuage, on calcule éventuellement les différences (constantes pour un modèle affine) ou les rapports (constants pour un modèle exponentiel), et on compare les coefficients de détermination fournis par l'outil numérique. Le modèle retenu sert à interpoler (fiable) ou extrapoler (risqué, surtout loin des données). Un modèle reste une simplification : on le confronte au contexte (saturation d'un marché, contraintes physiques).

Document 1 · Les vélos électriques

Situation-problème.

Un magasin de cycles a vendu, de l'année 0 à l'année 4, 120 ; 150 ; 190 ; 235 ; 295 vélos électriques. Le gérant prépare ses commandes.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Comparez différences et rapports.

Différences successives ?
✔ Corrigé :
30 ; 40 ; 45 ; 60 : pas constantes.
Rapports successifs ?
✔ Corrigé :
Environ 1,25 ; 1,27 ; 1,24 ; 1,26 : presque constants.
Quel modèle semble adapté ?
✔ Corrigé :
Exponentiel.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Utilisez le tableur.

Ajustement affine et R² ?
✔ Corrigé :
y = 43,5x + 111 ; R² ≈ 0,984.
Ajustement exponentiel et R² ?
✔ Corrigé :
y ≈ 120 × 1,25 puissance x ; R² ≈ 0,9998 (sur z = log y).
Prévisions pour x = 5 ?
✔ Corrigé :
Affine : 328,5 ; exponentiel : environ 366.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez un conseil au gérant (6 à 8 lignes) : quel modèle retenir, combien commander l'an prochain, et pourquoi ne pas prévoir à dix ans ? Pour bien commencer : Le modèle le plus pertinent est… · Pour l'an prochain, je prévois environ… · À long terme, …

✔ Corrigé rédigé :

Choix justifié par les rapports et R² ; prévision chiffrée ; limite de l'extrapolation (marché saturé) ; ton professionnel.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Des rapports presque constants suggèrent un modèle exponentiel. Des différences constantes suggèrent un modèle affine. On compare les coefficients de détermination. Une extrapolation lointaine est peu fiable.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Un nuage qui « se courbe » n'est pas bien ajusté par une droite.

Si z = log(y) est une fonction affine de x, l'évolution de y est exponentielle.

Le coefficient de détermination le plus proche de 1 indique le modèle le plus pertinent.

Une prévision hors des données est une extrapolation.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	La valeur d'une machine (en €) est relevée chaque année : 20 000 ; 16 000 ; 12 800 ; 10 240 ; 8 192. Calculez les rapports entre deux valeurs successives. Quel type d'évolution observez‑vous ?	4 pts	Rapports tous égaux à 0,8 : baisse de 20 % par an, évolution exponentielle (suite géométrique). 4 points.
2	Ventes annuelles de vélos électriques d'un magasin (x = 0 à 4) : 120 ; 150 ; 190 ; 235 ; 295. Le tableur donne l'ajustement affine y = 43,5x + 111 avec R² ≈ 0,984, et, avec z = log(y), un ajustement affine de z correspondant à y ≈ 120 × 1,25 puissance x avec R² ≈ 0,9998. Quel modèle choisir ? Prévoyez les ventes pour x = 5 avec chaque modèle.	8 pts	Modèle exponentiel (R² plus proche de 1, rapports presque constants voisins de 1,25). Prévisions : affine 328,5 soit environ 329 ; exponentiel environ 366 (120 × 3,05). Choix justifié (4 pts), prévisions (4 pts).
3	Le gérant veut commander les vélos pour les dix prochaines années avec le modèle exponentiel. Que lui conseillez‑vous ? Pour bien commencer : Pour x = 14, le modèle prévoit… · Cette prévision est fragile car… · Je conseille donc…	8 pts	x = 14 donne environ 120 × 1,25 puissance 14, soit plus de 2 000 vélos : extrapolation lointaine peu fiable (marché saturé, concurrence). Conseil : utiliser le modèle à court terme et le réviser chaque année. Calcul (3 pts), esprit critique (5 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : pourcentages d'évolution, coefficient multiplicateur, logarithme décimal à la calculatrice.
Pour aller plus loin : tester un ajustement exponentiel sur des données ouvertes (Insee) au tableur.