Probabilités : arbres pondérés, probabilités totales et indépendance · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Terminale

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de Terminale professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 : suites géométriques, fonctions exponentielles et logarithme décimal (module mis en oeuvre avec la physique-chimie). Certification : arrêté du 17 juin 2020.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de terminale professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Statistique et probabilités », module « Probabilités » (groupements A, B et C)

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Représenter une situation aléatoire par un arbre de probabilités pondéré
Calculer la probabilité d'un chemin et appliquer la formule des probabilités totales
Montrer que deux évènements sont indépendants ou non

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

arbre pondéré : noeud, branche, cheminprobabilité conditionnelle P_A(B)probabilité d'un cheminformule des probabilités totalesindépendance : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Repères historiques

Bayes, probabilité des causes (1763)
Laplace, *Essai philosophique sur les probabilités* (1814)
Shewhart, contrôle statistique de la qualité (1924)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « L'objectif de ce module est de modéliser des situations aléatoires par des arbres de probabilités pondérés afin de déterminer des probabilités. »

Probabilités totales : « La formule des probabilités totales est systématiquement mise en relation avec un arbre de probabilités pondéré et appliquée sans formalisme. »

Indépendance : « La notion d'indépendance est formalisée. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Arbre pondéré: Schéma de noeuds et de branches portant des probabilités ; les branches issues d'un noeud ont une somme égale à 1.
Probabilité conditionnelle: P_A(B) : probabilité de B sachant que A est réalisé ; elle se lit sur la branche de A vers B.
Chemin: P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B).
Probabilités totales: P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B) : on additionne les chemins menant à B.
Indépendance: A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B), c'est‑à‑dire si P_A(B) = P(B).

Repères

Date	Événement
1763	Publication posthume de l'essai de Thomas Bayes sur la probabilité des causes.
1814	Laplace publie l'Essai philosophique sur les probabilités.
1924	Walter Shewhart invente la carte de contrôle pour surveiller la qualité industrielle.
Aujourd'hui	Les arbres de probabilités servent en contrôle qualité, en assurance et en santé.

Les historiens en débat

Les arbres pondérés traduisent visuellement les règles de calcul de Laplace : on multiplie le long d'un chemin, on additionne les chemins. Ils sont devenus un outil quotidien du contrôle qualité depuis les travaux de Shewhart, et de la médecine pour interpréter les tests de dépistage. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Nicolas Gauvrit, Vous avez dit hasard ?, Belin, 2009.
David Salsburg, The Lady Tasting Tea, W. H. Freeman, 2001.
Ian Hacking, L'Émergence de la probabilité, Seuil, 2002.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Construire et lire un arbre	65 min	représenter une situation par un arbre et calculer des chemins
Séance 2	Probabilités totales et indépendance	65 min	appliquer la formule des probabilités totales et tester l'indépendance
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Construire et lire un arbre

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

D'où viennent les pièces défectueuses ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes. Au premier niveau, on place les évènements A et Ā avec leurs probabilités ; au second, les évènements B et B̄ avec les probabilités conditionnelles P_A(B), P_A(B̄), etc. Règles : la somme des branches issues d'un même noeud vaut 1 ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : P(A ∩ B) = P(A) × P_A(B). On construit souvent l'arbre à partir d'un tableau croisé.

Document 1 · Le contrôle qualité

Situation-problème.

Une entreprise de décolletage produit des vis : 60 % sur la machine A, 40 % sur la machine B. 5 % des vis de A et 10 % des vis de B sont défectueuses. On prélève une vis au hasard ; D désigne « la vis est défectueuse ».

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Construisez l'arbre.

Branches du premier niveau ?
✔ Corrigé :
A : 0,6 ; B : 0,4.
Branches après A ?
✔ Corrigé :
D : 0,05 ; non D : 0,95.
Branches après B ?
✔ Corrigé :
D : 0,1 ; non D : 0,9.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez les chemins.

P(A ∩ D) ?
✔ Corrigé :
0,03.
P(B ∩ D) ?
✔ Corrigé :
0,04.
P(A ∩ non D) ?
✔ Corrigé :
0,57.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une fiche méthode (6 lignes) pour un apprenti : comment construire un arbre pondéré et calculer la probabilité d'un chemin ? Pour bien commencer : On commence par placer… · Sur chaque branche, on écrit… · Pour un chemin, on…

✔ Corrigé rédigé :

Ordre de construction ; somme égale à 1 ; produit le long du chemin ; exemple juste ; clarté.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Les branches issues d'un même noeud ont une somme égale à 1. La probabilité d'un chemin est le produit de ses branches. P(A ∩ D) = 0,6 × 0,05 = 0,03. La branche de A vers D porte la probabilité conditionnelle P_A(D).

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Probabilités totales et indépendance

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle est la proportion totale de défauts ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Probabilités totales

Formule des probabilités totales : si A et Ā partagent l'univers, P(D) = P(A ∩ D) + P(Ā ∩ D) : on additionne les probabilités de tous les chemins qui mènent à D. Deux évènements A et D de probabilités non nulles sont indépendants si P(A ∩ D) = P(A) × P(D), autrement dit si la réalisation de A ne change pas la probabilité de D (P_A(D) = P(D)). Dans une expérience répétée dans les mêmes conditions (tirages avec remise, composants qui fonctionnent séparément), les épreuves sont indépendantes et on multiplie.

Document 1 · La ligne de production

Situation-problème.

On reprend l'entreprise de décolletage (A : 60 %, défauts 5 % ; B : 40 %, défauts 10 %). Une machine d'emballage comporte aussi deux capteurs indépendants qui fonctionnent avec les probabilités 0,9 et 0,95.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Calculez P(D).

Chemins menant à D ?
✔ Corrigé :
A puis D, B puis D.
P(D) ?
✔ Corrigé :
0,03 + 0,04 = 0,07.
P(non D) ?
✔ Corrigé :
0,93.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez l'indépendance.

P(A) × P(D) ?
✔ Corrigé :
0,6 × 0,07 = 0,042.
A et D sont‑ils indépendants ?
✔ Corrigé :
Non, car 0,042 n'est pas égal à 0,03.
Probabilité que les deux capteurs fonctionnent ?
✔ Corrigé :
0,9 × 0,95 = 0,855.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note au responsable qualité (6 à 8 lignes) : faut‑il arrêter la machine B, qui produit la majorité des défauts, ou la régler ? Chiffrez les deux options. Pour bien commencer : Actuellement, la proportion de défauts est… · Si l'on règle la machine B à 5 % de défauts, … · Je recommande…

✔ Corrigé rédigé :

P(D) = 0,07 ; part de B ≈ 57 % ; réglage donne 0,05 ; arrêt réduit la capacité de 40 % ; recommandation argumentée.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

On additionne les probabilités des chemins qui mènent à D. La formule des probabilités totales donne P(D) = 0,07. A et D sont indépendants si P(A ∩ D) = P(A) × P(D). Pour des épreuves indépendantes, on multiplie les probabilités.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud vaut 1.

La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.

P(B) est la somme des probabilités des chemins qui mènent à B.

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	Une usine produit 60 % de ses pièces sur la machine A et 40 % sur la machine B. 5 % des pièces de A et 10 % des pièces de B sont défectueuses. Construisez l'arbre pondéré.	4 pts	Branches A 0,6 et B 0,4 ; puis D 0,05 et non D 0,95 après A ; D 0,1 et non D 0,9 après B. 4 points.
2	Calculez P(A ∩ D), P(B ∩ D), puis P(D) avec la formule des probabilités totales. Les évènements A et D sont‑ils indépendants ?	8 pts	0,6 × 0,05 = 0,03 ; 0,4 × 0,1 = 0,04 ; P(D) = 0,07. P(A) × P(D) = 0,042, différent de 0,03 : non indépendants. Chemins (3 pts), total (2 pts), indépendance (3 pts).
3	Le responsable qualité propose d'arrêter la machine B, qui produit « la majorité des défauts ». Vérifiez cette affirmation et discutez la proposition. Pour bien commencer : Parmi les pièces défectueuses, la part venant de B est… · Cependant, … · Une autre solution serait…	8 pts	Part des défauts venant de B : 0,04 / 0,07 ≈ 57 %, c'est bien la majorité ; mais B produit 40 % des pièces. Plutôt que l'arrêter, on peut la régler : avec un taux de 5 %, P(D) passerait à 0,05. Calculs (4 pts), argumentation (4 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : produits et sommes de décimaux, pourcentages, lecture d'un tableau croisé.
Pour aller plus loin : simuler la production au tableur et comparer la fréquence des défauts à 0,07.