Repères pour le professeur
Objectifs et capacités
Objectifs
- Calculer le capital obtenu après n périodes avec la formule cn = c0 (1 + t) puissance n
- Comparer intérêts simples et intérêts composés
- Déterminer une durée de placement à l'aide du logarithme décimal ou de l'outil numérique
Capacités travaillées (BO)
- S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
- Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
- Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
- Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
- Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral
Notions et définitions
Repères historiques
- Tablettes babyloniennes de calcul d'intérêts (début du IIe millénaire av. J.‑C.)
- Fibonacci, *Liber abaci* (1202)
- Jacques Bernoulli et la capitalisation continue (1683)
Ressources de la séquence
Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.
Ancrage dans le programme officiel
Objectif du module : « Ce module permet de réinvestir, lors de l'étude de situations mettant en œuvre des calculs commerciaux et financiers, les capacités et connaissances concernant les suites arithmétiques ou géométriques, les fonctions exponentielles et la fonction logarithme décimal. »
Nouveauté de terminale : « En classe terminale, ils étudient le cas des intérêts composés. »
Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »
Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »
Notions : définitions rigoureuses
- Intérêts simples
- Intérêts calculés sur le seul capital initial : cn = c0 + n × c0 × t.
- Intérêts composés
- Les intérêts s'ajoutent au capital et produisent à leur tour des intérêts.
- Valeur acquise
- cn = c0 × (1 + t) puissance n.
- Lien avec les suites
- Simples : suite arithmétique ; composés : suite géométrique de raison 1 + t.
- Durée
- On résout (1 + t) puissance n ⩾ k, avec le logarithme décimal ou par tâtonnement au tableur.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| Début du IIe millénaire av. J.‑C. | Des tablettes babyloniennes calculent le temps nécessaire pour doubler un capital. |
| 1202 | Fibonacci traite de problèmes d'intérêts dans le Liber abaci. |
| 1683 | Jacques Bernoulli étudie la capitalisation de plus en plus fréquente, qui mène au nombre e. |
| Aujourd'hui | Livrets d'épargne et crédits reposent sur les intérêts composés. |
Les historiens en débat
Dès l'Antiquité, les scribes babyloniens savaient calculer le temps nécessaire pour doubler un capital. Fibonacci a diffusé ces calculs auprès des marchands européens, et Bernoulli, en se demandant ce qui arrive quand on capitalise de plus en plus souvent, a rencontré le nombre e. Les intérêts composés illustrent la puissance d'une croissance géométrique. Synthèse du professeur.
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, L'Univers des nombres, Belin, 2000.
- Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.
- Jordan Ellenberg, L'Art de ne pas dire n'importe quoi, Cassini, 2017.
Différenciation : un rythme de travail différent
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Déroulé d'ensemble
| Séance | Titre | Durée | Objectif |
|---|---|---|---|
| Séance 1 | Simples ou composés ? | 65 min | calculer une valeur acquise et comparer deux modes de placement |
| Séance 2 | Combien de temps pour doubler ? | 65 min | déterminer une durée de placement |
| Évaluation | Évaluation de fin de séquence (/20) | 55 min | Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction |
Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.
Séance 1 · Simples ou composés ?
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Quel placement choisir pour une épargne ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Intérêts composés
Avec des intérêts simples au taux t, le capital augmente chaque période du même montant c0 × t : cn = c0 + n × c0 × t (suite arithmétique). Avec des intérêts composés, les intérêts de chaque période sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts : on multiplie par (1 + t) à chaque période, d'où cn = c0 × (1 + t) puissance n (suite géométrique de raison 1 + t). À long terme, la croissance géométrique dépasse toujours la croissance arithmétique.
Document 1 · Le conseil en agence
Situation-problème.
Dans une agence bancaire, un conseiller présente deux placements pour 5 000 € : A, à intérêts composés au taux annuel de 3 % ; B, à intérêts simples au taux annuel de 3,5 %.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Calculez la première année.
- Intérêts de A la première année ?✔ Corrigé :
150 €.
- Intérêts de B chaque année ?✔ Corrigé :
175 €.
- Intérêts de A la deuxième année ?✔ Corrigé :
3 % de 5 150, soit 154,50 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Calculez au tableur ou à la calculatrice.
- A après 8 ans ?✔ Corrigé :
5 000 × 1,03 puissance 8 ≈ 6 333,85 €.
- B après 8 ans ?✔ Corrigé :
5 000 + 8 × 175 = 6 400 €.
- Après 15 ans ?✔ Corrigé :
A ≈ 7 789,84 € ; B = 7 625 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un conseil (6 à 8 lignes) pour un client : quel placement selon la durée envisagée ? Utilisez le tableau du tableur. Pour bien commencer : À court terme, … · À partir de… ans, le placement A… · Je vous conseille donc…
Comparaison chiffrée ; seuil de 12 ans lu au tableur ; explication par les intérêts des intérêts ; ton professionnel.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
Avec les intérêts simples, le capital augmente du même montant. Avec les intérêts composés, on multiplie par (1 + t) chaque année. Les intérêts composés forment une suite géométrique. À long terme, les intérêts composés l'emportent.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Réaliser | 7 |
| Activité 3 · Valider, communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Séance 2 · Combien de temps pour doubler ?
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.
Problématique de la séance
Au bout de combien d'années le capital aura‑t‑il doublé ?
Déroulé minuté à distance
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
- 12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
- 15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
- 10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.
Le cours développé (récit du professeur) · Durée de placement
Pour trouver la durée n telle que le capital atteigne un montant donné, on résout c0 × (1 + t) puissance n ⩾ C, soit (1 + t) puissance n ⩾ C / c0. Méthodes : tableur (on prolonge la colonne jusqu'à dépasser C), algorithme (boucle while), ou logarithme décimal : n ⩾ log(C / c0) / log(1 + t), puis on prend l'entier supérieur. Ordre de grandeur utile : à 3 %, un capital double en un peu moins de 24 ans.
Document 1 · L'épargne de projet
Situation-problème.
Une jeune artisane place 5 000 € à intérêts composés à 3 % par an. Elle aimerait disposer de 7 500 € pour acheter du matériel, puis, à plus long terme, doubler son capital.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Posez le problème.
- Inéquation pour 7 500 € ?✔ Corrigé :
5 000 × 1,03 puissance n ⩾ 7 500, soit 1,03 puissance n ⩾ 1,5.
- Inéquation pour doubler ?✔ Corrigé :
1,03 puissance n ⩾ 2.
- Méthode au tableur ?✔ Corrigé :
Prolonger la suite jusqu'à dépasser la valeur.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| S'approprier, réaliser | 6 |
| Total de l'activité | 6 |
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Résolvez.
- Pour 7 500 € ?✔ Corrigé :
n ⩾ log(1,5) / log(1,03) ≈ 13,7 : 14 ans.
- Pour doubler ?✔ Corrigé :
n ⩾ log(2) / log(1,03) ≈ 23,4 : 24 ans.
- Vérification au tableur ?✔ Corrigé :
5 000 × 1,03 puissance 14 ≈ 7 563 € ; 5 000 × 1,03 puissance 24 ≈ 10 164 €.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Analyser, raisonner, réaliser | 7 |
| Total de l'activité | 7 |
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez un message à l'artisane (6 à 8 lignes) : dans combien de temps aura‑t‑elle 7 500 € ? Que pourrait‑elle faire pour y arriver plus vite ? Pour bien commencer : Avec ce placement, il faudra… · Pour atteindre ce montant plus vite, … · Je vous recommande…
14 ans justifiés ; vérification ; pistes (verser plus au départ, taux plus élevé, versements réguliers) ; ton bienveillant.
| Critère de réussite | Points |
|---|---|
| Valider | 5 |
| Communiquer | 2 |
| Total de l'activité | 7 |
Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)
On résout (1 + t) puissance n ⩾ C / c0. Avec le logarithme, n ⩾ log(C / c0) / log(1 + t). On prend ensuite l'entier supérieur. À 3 %, un capital double en 24 ans.
Barème récapitulatif des activités notées
| Activité | Points |
|---|---|
| Activité 1 · S'approprier | 6 |
| Activité 2 · Analyser, raisonner | 7 |
| Activité 3 · Valider, communiquer | 7 |
| Total | 20 / 20 |
Fiche à trous · corrigé
Avec les intérêts simples, le capital augmente chaque année du même montant.
Avec les intérêts composés, les intérêts produisent eux‑mêmes des intérêts.
La valeur acquise est cn = c0 × (1 + t) puissance n.
Les intérêts composés correspondent à une suite géométrique.
La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).
Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé
Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.
| N° | Question | Barème | Corrigé et critères |
|---|---|---|---|
| 1 | On place 5 000 € à intérêts composés au taux annuel de 3 %. Calculez la valeur acquise après 10 ans. | 4 pts | 5 000 × 1,03 puissance 10 ≈ 6 719,58 €. 4 points. |
| 2 | Placement A : 5 000 € à intérêts composés à 3 % par an. Placement B : 5 000 € à intérêts simples à 3,5 % par an. Calculez la valeur de chaque placement après 8 ans et après 15 ans. Lequel est le plus intéressant ? | 8 pts | 8 ans : A ≈ 6 333,85 €, B = 6 400 € ; 15 ans : A ≈ 7 789,84 €, B = 7 625 €. B l'emporte à court terme, A à long terme (A dépasse B à partir de 12 ans). Calculs (6 pts), conclusion (2 pts). |
| 3 | Un client veut doubler son capital avec le placement A. Déterminez la durée nécessaire et rédigez votre conseil. Pour bien commencer : *On cherche n tel que…* · *Avec le logarithme décimal, …* · *Je conseille donc au client…* | 8 pts | 1,03 puissance n ⩾ 2, soit n ⩾ log(2) / log(1,03) ≈ 23,4 : il faut 24 ans. Conseil : placement long ; comparer avec d'autres taux. Calcul (5 pts), conseil (3 pts). |
| Total | 20 pts | ||
Pistes pour un rythme de travail différent
- Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
- Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
- Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
- Automatismes : pourcentages, coefficient multiplicateur, puissances à la calculatrice.
- Pour aller plus loin : construire au tableur la comparaison année par année des deux placements.