Bonjour !
Dans cette séquence de mathématiques, tu vas chercher à répondre à la grande question écrite en haut de la page. Elle se fait en 2 séances. Pour chaque séance : lis la consigne, étudie les documents, réponds aux questions sur ta feuille ou sur l'ENT, puis recopie l'essentiel dans ton cahier. Tu peux imprimer cette page avec le bouton « Imprimer ».
À la fin, je serai capable de :
- Lire et placer des points et des vecteurs dans un repère orthonormé de l'espace
- Calculer la norme d'un vecteur et les coordonnées d'une somme
- Reconnaître des vecteurs égaux ou colinéaires à l'aide de leurs coordonnées
Les mots importants
Ressources de la séquence
Les notions, les repères et les pistes pour aller plus loin, utiles pour toutes les séances.
Les notions à maîtriser
- Repère de l'espace
- Origine O et trois axes perpendiculaires deux à deux : abscisse, ordonnée, cote.
- Coordonnées d'un vecteur
- AB(xB − xA ; yB − yA ; zB − zA).
- Norme
- ‖u‖ = √(x² + y² + z²).
- Somme
- On additionne les coordonnées une à une.
- Produit par un réel
- k u a pour coordonnées (kx ; ky ; kz).
- Colinéarité
- v = k u pour un réel k : même direction.
Repères
| Date | Événement |
|---|---|
| 1637 | Descartes introduit le repérage par coordonnées. |
| 1843 | Hamilton invente les quaternions, d'où vient le mot « vecteur ». |
| 1901 | Le traité Vector Analysis fondé sur les cours de Gibbs fixe les notations modernes. |
| Aujourd'hui | Drones, robots et logiciels 3D calculent en permanence des vecteurs de l'espace. |
Pour aller plus loin
Sources et bibliographie
- Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Robert Laffont, 2014.
- Richard Courant et Herbert Robbins, Qu'est‑ce que les mathématiques ?, Cassini, 2015.
- Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.
Mon parcours : je choisis mon rythme
- Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
- Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.
Séance 1 · Se repérer dans l'espace
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle distance le drone doit‑il parcourir ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Repérage dans l'espace
Un repère orthonormé de l'espace est formé d'une origine O et de trois axes perpendiculaires deux à deux, de même unité. Un point A est repéré par trois coordonnées (xA ; yA ; zA) : abscisse, ordonnée, cote. Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA). Sa norme est √(x² + y² + z²) : c'est la distance AB (on applique deux fois le théorème de Pythagore).
Document 1 · La livraison par drone
Situation-problème.
Une entreprise teste la livraison de petites pièces sur un grand site industriel. Le drone part de la base O(0 ; 0 ; 0) ; un point de livraison est B(30 ; 40 ; 20), en mètres, la cote représentant l'altitude.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Lisez les coordonnées.
- Altitude du point B ?
- Coordonnées du vecteur OB ?
- Distance au sol (projection sur le plan horizontal) ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Réaliser
18 minSupports : Cours
Calculez.
- Norme de OB ?
- Le drone va ensuite en C(30 ; 10 ; 20) : coordonnées de BC ?
- Norme de BC ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une fiche de mission (6 lignes) : trajet O, B, C, longueurs de chaque étape et distance totale. Pour bien commencer : Le drone part de… et se rend en… · La première étape mesure… · Au total, …
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
Dans l'espace, un point a ______ coordonnées. La troisième coordonnée s'appelle la ______. La norme de u(x ; y ; z) est √(x² + y² + ______). La distance OB vaut environ ______ m.
Séance 2 · Somme et colinéarité dans l'espace
65 minSéance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes avec coups de pouce.
La question du jour
Quelle force totale retient la charge ?
Mon plan de travail
- 10 min → Lancement en classe virtuelle : Je suis le lancement (ou j'écoute la capsule) et je recopie la problématique.
- 12 min → Travail autonome : Je fais l'activité 1 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 18 min → Travail autonome : Je fais l'activité 2 ; j'utilise les coups de pouce seulement si je bloque.
- 15 min → Travail à rendre : Je fais l'activité 3 et je la dépose sur l'ENT (ou j'envoie une photo) dans les trois jours.
- 10 min → Mise en commun : Je corrige avec une autre couleur et je complète la trace écrite.
Le cours à lire · Somme et colinéarité
Comme dans le plan, la somme de deux vecteurs s'obtient en additionnant leurs coordonnées : u(x ; y ; z) + v(x′ ; y′ ; z′) = (x + x′ ; y + y′ ; z + z′). Le produit par un réel k donne (kx ; ky ; kz). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées, colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u (les trois coordonnées sont proportionnelles). En mécanique, une charge est en équilibre si la somme des forces est nulle.
Document 1 · Le levage d'une charge
Situation-problème.
Sur un chantier, une charge est suspendue à deux câbles. Les forces, en kilonewtons, ont pour coordonnées F1(2 ; −1 ; 3) et F2(−2 ; 1 ; 3), l'axe des cotes étant vertical.
Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).
Activité 1 · S'approprier
12 minSupports : Document 1
Additionnez.
- F1 + F2 ?
- Direction de la résultante ?
- Norme de la résultante ?
Ce qui est attendu (6 pts) : S'approprier, réaliser
Activité 2 · Analyser, raisonner
18 minSupports : Cours
Étudiez la colinéarité et l'équilibre.
- u(1 ; −2 ; 4) et v(−3 ; 6 ; −12) ?
- u(1 ; −2 ; 4) et w(2 ; −4 ; 7) ?
- Poids P de la charge à l'équilibre ?
Ce qui est attendu (7 pts) : Analyser, raisonner, réaliser
Activité 3 · Valider, communiquer
15 minSupports : Documents et cours
Rédigez une note pour le chef de chantier (6 à 8 lignes) : chaque câble supporte‑t‑il 3 kN ? Calculez la norme de F1 et expliquez. Pour bien commencer : La force totale est… · Pourtant, la norme de F1 est… · Chaque câble supporte donc…
Ce qui est attendu (7 pts) : Valider · Communiquer
Trace écrite · document à compléter (papier ou ENT)
Complète la trace écrite avec les mots de la banque, puis recopie-la dans ton cahier.
On additionne les vecteurs coordonnée par __________. v = −3u signifie que u et v sont ___________. À l'équilibre, la somme des forces est ______. La norme de F1 vaut environ ______ kN.
Fiche à trous · je complète
Complète le texte avec les mots de la banque (sur papier ou dans le document de l'ENT).
Dans l'espace, un point a ______ coordonnées.
Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; _______).
La norme de u(x ; y ; z) est la racine carrée de x² + y² + ______.
Deux vecteurs sont ___________ si l'un est le produit de l'autre par un réel.
Ce que j'ai appris
- Lire et placer des points et des vecteurs dans un repère orthonormé de l'espace
- Calculer la norme d'un vecteur et les coordonnées d'une somme
- Reconnaître des vecteurs égaux ou colinéaires à l'aide de leurs coordonnées