Vecteurs dans l'espace : repérage, norme, somme et colinéarité · version prof

Repères pour le professeur

Voie · niveauLycée professionnel (Bac Pro) · Terminale

DisciplineMathématiques

Programme officielProgramme de mathématiques de Terminale professionnelle, BO spécial n°1 du 6 février 2020 : suites géométriques, fonctions exponentielles et logarithme décimal (module mis en oeuvre avec la physique-chimie). Certification : arrêté du 17 juin 2020.

Place dans le programmeProgramme de mathématiques de terminale professionnelle (BO spécial n°1 du 6 février 2020), domaine « Géométrie », module « Vecteurs » (groupement B)

Durée totale2 séances + 1 évaluation ≈ 3 h 05

ModalitéEnseignement à distance : classe virtuelle + travail autonome + rendu sur l'ENT

Objectifs et capacités

Objectifs

Lire et placer des points et des vecteurs dans un repère orthonormé de l'espace
Calculer la norme d'un vecteur et les coordonnées d'une somme
Reconnaître des vecteurs égaux ou colinéaires à l'aide de leurs coordonnées

Capacités travaillées (BO)

S'approprier : rechercher, extraire et organiser l'information
Analyser, raisonner : émettre une conjecture, choisir une méthode
Réaliser : calculer, représenter, utiliser un outil numérique
Valider : contrôler la vraisemblance, argumenter
Communiquer : rendre compte d'une démarche à l'écrit et à l'oral

Notions et définitions

repère orthonormé de l'espace (x ; y ; z)coordonnées d'un point, d'un vecteurnorme d'un vecteur dans l'espacesomme de vecteursproduit par un réel, colinéarité

Repères historiques

Descartes, coordonnées (1637)
Hamilton, quaternions et vecteurs (1843)
Gibbs, *Vector Analysis* (1901)

Ressources de la séquence

Ancrage dans le programme, notions, repères, débats, bibliographie et différenciation, communs à toutes les séances.

Ancrage dans le programme officiel

Objectif du module : « Ce module permet d'aborder le repérage et des notions vectorielles dans l'espace. »

Démarche : « En classe terminale, on étend à l'espace, sans formalisme, les notions vues en classe de première concernant les vecteurs du plan. »

Norme : « La norme d'un vecteur est définie comme la longueur d'un de ses représentants. »

Compétences : « valider : critiquer un résultat, argumenter ; contrôler la vraisemblance d'une conjecture ; mener un raisonnement logique et établir une conclusion »

Certification (arrêté du 17 juin 2020, annexe III) : en contrôle en cours de formation, deux situations d'évaluation en première et terminale : « Ces situations d'évaluation ont chacune une durée de quarante-cinq minutes environ et sont notées sur 10 points. » « Un exercice au moins comporte une ou deux questions dont la résolution se fait en présence de l'examinateur. » Pour les candidats hors CCF : « L'épreuve, d'une durée d'une heure, est une évaluation écrite et pratique, notée sur 20 points se déroule en fin de cursus de formation. »

Notions : définitions rigoureuses

Repère de l'espace: Origine O et trois axes perpendiculaires deux à deux : abscisse, ordonnée, cote.
Coordonnées d'un vecteur: AB(xB − xA ; yB − yA ; zB − zA).
Norme: ‖u‖ = √(x² + y² + z²).
Somme: On additionne les coordonnées une à une.
Produit par un réel: k u a pour coordonnées (kx ; ky ; kz).
Colinéarité: v = k u pour un réel k : même direction.

Repères

Date	Événement
1637	Descartes introduit le repérage par coordonnées.
1843	Hamilton invente les quaternions, d'où vient le mot « vecteur ».
1901	Le traité Vector Analysis fondé sur les cours de Gibbs fixe les notations modernes.
Aujourd'hui	Drones, robots et logiciels 3D calculent en permanence des vecteurs de l'espace.

Les historiens en débat

Le mot « vecteur » vient de Hamilton, qui cherchait à prolonger les nombres complexes à l'espace. Les notations simplifiées de Gibbs et Heaviside se sont imposées en physique ; elles servent aujourd'hui à piloter un drone, à régler un bras robotisé ou à calculer les efforts sur une structure. Synthèse du professeur.

Pour aller plus loin

Lire · programmes de mathématiques de la voie professionnelle (éduscol).
Outil · calculatrice graphique GeoGebra.

Sources et bibliographie

Ian Stewart, 17 équations qui ont changé le monde, Robert Laffont, 2014.
Richard Courant et Herbert Robbins, Qu'est‑ce que les mathématiques ?, Cassini, 2015.
Denis Guedj, Le Théorème du perroquet, Seuil, 1998.

Différenciation : un rythme de travail différent

Pour les élèves qui ont besoin de plus de temps : énoncé découpé en petites questions, rappel de cours en marge, calculatrice ou tableur autorisés pendant l'entraînement, correction pas à pas en vidéo ou en classe virtuelle.
Pour les élèves qui avancent vite : question d'approfondissement (démonstration, généralisation, programme Python à écrire), problème ouvert à rédiger et à présenter à l'oral.

Déroulé d'ensemble

Séance	Titre	Durée	Objectif
Séance 1	Se repérer dans l'espace	65 min	lire et placer points et vecteurs, calculer une norme
Séance 2	Somme et colinéarité dans l'espace	65 min	additionner des vecteurs et reconnaître la colinéarité
Évaluation	Évaluation de fin de séquence (/20)	55 min	Vérifier les acquis : connaissances, capacités, rédaction

Chaque séance dure environ 55 minutes à distance : lancement en classe virtuelle ou par message sur l'ENT, recherche du problème (calculatrice, tableur, GeoGebra ou Python dans le navigateur), mise en commun, cours et trace écrite. Les élèves renvoient la fiche à trous et leur production par l'ENT ou en photo.

Séance 1 · Se repérer dans l'espace

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle distance le drone doit‑il parcourir ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Réaliser) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Repérage dans l'espace

Un repère orthonormé de l'espace est formé d'une origine O et de trois axes perpendiculaires deux à deux, de même unité. Un point A est repéré par trois coordonnées (xA ; yA ; zA) : abscisse, ordonnée, cote. Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA). Sa norme est √(x² + y² + z²) : c'est la distance AB (on applique deux fois le théorème de Pythagore).

Document 1 · La livraison par drone

Situation-problème.

Une entreprise teste la livraison de petites pièces sur un grand site industriel. Le drone part de la base O(0 ; 0 ; 0) ; un point de livraison est B(30 ; 40 ; 20), en mètres, la cote représentant l'altitude.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Lisez les coordonnées.

Altitude du point B ?
✔ Corrigé :
20 m.
Coordonnées du vecteur OB ?
✔ Corrigé :
(30 ; 40 ; 20).
Distance au sol (projection sur le plan horizontal) ?
✔ Corrigé :
√(900 + 1 600) = 50 m.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Réaliser

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Calculez.

Norme de OB ?
✔ Corrigé :
√2 900 ≈ 53,9 m.
Le drone va ensuite en C(30 ; 10 ; 20) : coordonnées de BC ?
✔ Corrigé :
(0 ; −30 ; 0).
Norme de BC ?
✔ Corrigé :
30 m.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une fiche de mission (6 lignes) : trajet O, B, C, longueurs de chaque étape et distance totale. Pour bien commencer : Le drone part de… et se rend en… · La première étape mesure… · Au total, …

✔ Corrigé rédigé :

Coordonnées justes ; normes 53,9 m et 30 m ; total ≈ 83,9 m ; présentation claire.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

Dans l'espace, un point a trois coordonnées. La troisième coordonnée s'appelle la cote. La norme de u(x ; y ; z) est √(x² + y² + z²). La distance OB vaut environ 53,9 m.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Réaliser	7
Activité 3 · Communiquer	7
Total	20 / 20

Séance 2 · Somme et colinéarité dans l'espace

65 min

Séance approfondie : cours développé, documents sourcés, activités exigeantes, corrigés et barème.

Problématique de la séance

Quelle force totale retient la charge ?

Déroulé minuté à distance

10 min → Lancement en classe virtuelle : Rappel de la séance précédente, lecture de la problématique, récit du professeur appuyé sur le cours (capsule audio sur l'ENT si la connexion est fragile).
12 min → Travail autonome : Activité 1 (S'approprier) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
18 min → Travail autonome : Activité 2 (Analyser, raisonner) ; le professeur reste joignable par la messagerie de l'ENT.
15 min → Travail à rendre : Activité 3 (Valider, communiquer) à déposer sur l'ENT ou à rendre en photo ; correction individualisée avec le barème.
10 min → Mise en commun : Correction collective des points essentiels, puis élaboration et dépôt de la trace écrite.

Le cours développé (récit du professeur) · Somme et colinéarité

Comme dans le plan, la somme de deux vecteurs s'obtient en additionnant leurs coordonnées : u(x ; y ; z) + v(x′ ; y′ ; z′) = (x + x′ ; y + y′ ; z + z′). Le produit par un réel k donne (kx ; ky ; kz). Deux vecteurs sont égaux s'ils ont les mêmes coordonnées, colinéaires s'il existe un réel k tel que v = k u (les trois coordonnées sont proportionnelles). En mécanique, une charge est en équilibre si la somme des forces est nulle.

Document 1 · Le levage d'une charge

Situation-problème.

Sur un chantier, une charge est suspendue à deux câbles. Les forces, en kilonewtons, ont pour coordonnées F1(2 ; −1 ; 3) et F2(−2 ; 1 ; 3), l'axe des cotes étant vertical.

Source : Situation construite pour la séance par le professeur (données fictives, choisies pour être réalistes).

Activité 1 · S'approprier

12 min

Essentiel

Supports : Document 1

Consigne :

Additionnez.

F1 + F2 ?
✔ Corrigé :
(0 ; 0 ; 6).
Direction de la résultante ?
✔ Corrigé :
Verticale, vers le haut.
Norme de la résultante ?
✔ Corrigé :
6 kN.

Critère de réussite	Points
S'approprier, réaliser	6
Total de l'activité	6

Activité 2 · Analyser, raisonner

18 min

Essentiel

Supports : Cours

Consigne :

Étudiez la colinéarité et l'équilibre.

u(1 ; −2 ; 4) et v(−3 ; 6 ; −12) ?
✔ Corrigé :
v = −3u : colinéaires, de sens contraires.
u(1 ; −2 ; 4) et w(2 ; −4 ; 7) ?
✔ Corrigé :
2 = 2 × 1 et −4 = 2 × (−2), mais 7 n'est pas 2 × 4 : non colinéaires.
Poids P de la charge à l'équilibre ?
✔ Corrigé :
P(0 ; 0 ; −6), soit 6 kN, environ 600 kg.

Critère de réussite	Points
Analyser, raisonner, réaliser	7
Total de l'activité	7

Activité 3 · Valider, communiquer

15 min

Travail à rendre

Supports : Documents et cours

Consigne :

Rédigez une note pour le chef de chantier (6 à 8 lignes) : chaque câble supporte‑t‑il 3 kN ? Calculez la norme de F1 et expliquez. Pour bien commencer : La force totale est… · Pourtant, la norme de F1 est… · Chaque câble supporte donc…

✔ Corrigé rédigé :

‖F1‖ = √14 ≈ 3,74 kN, plus que 3 kN ; les composantes horizontales s'annulent ; conséquence sur le choix des câbles ; ton professionnel.

Critère de réussite	Points
Valider	5
Communiquer	2
Total de l'activité	7

Trace écrite (à faire recopier ou à déposer sur l'ENT)

On additionne les vecteurs coordonnée par coordonnée. v = −3u signifie que u et v sont colinéaires. À l'équilibre, la somme des forces est nulle. La norme de F1 vaut environ 3,74 kN.

Barème récapitulatif des activités notées

Activité	Points
Activité 1 · S'approprier	6
Activité 2 · Analyser, raisonner	7
Activité 3 · Valider, communiquer	7
Total	20 / 20

Fiche à trous · corrigé

Dans l'espace, un point a trois coordonnées.

Le vecteur AB a pour coordonnées (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA).

La norme de u(x ; y ; z) est la racine carrée de x² + y² + z².

Deux vecteurs sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre par un réel.

La version élève contient la même fiche avec une banque de mots (papier ou ENT).

Évaluation de fin de séquence (/20) · barème et corrigé

Évaluation sur 20 à faire en temps limité sur l'ENT ou sur papier, puis à renvoyer en photo ; le corrigé et le barème servent aussi à l'autoévaluation. En Bac Pro, elle est construite comme une situation de contrôle en cours de formation (problème contextualisé, compétences évaluées) ; en 1re générale, elle prépare à l'épreuve anticipée (automatismes sans calculatrice et exercices) ; en Terminale générale, aux exercices indépendants de l'épreuve de spécialité.

N°	Question	Barème	Corrigé et critères
1	A(1 ; 2 ; 0) et B(3 ; 4 ; 1). Calculez les coordonnées du vecteur AB et sa norme.	4 pts	AB(2 ; 2 ; 1) ; norme √9 = 3. 2 points chacun.
2	Une charge est retenue par deux câbles exerçant les forces F1(2 ; −1 ; 3) et F2(−2 ; 1 ; 3) (en kN). Calculez F1 + F2 et sa norme. Les vecteurs u(1 ; −2 ; 4) et v(−3 ; 6 ; −12) sont‑ils colinéaires ?	8 pts	F1 + F2 = (0 ; 0 ; 6), verticale, de norme 6 kN. v = −3u : colinéaires. Somme (3 pts), norme (2 pts), colinéarité (3 pts).
3	Un drone décolle de O(0 ; 0 ; 0) et doit livrer en B(30 ; 40 ; 20) (en m). Son autonomie restante lui permet de parcourir 60 m en ligne droite. Peut‑il aller en B ? Et faire l'aller‑retour ? Justifiez. Pour bien commencer : La distance OB est… · L'aller est donc… · Pour l'aller‑retour, …	8 pts	OB(30 ; 40 ; 20), norme √2 900 ≈ 53,9 m : l'aller est possible, mais pas l'aller‑retour (107,7 m). Calculs (4 pts), conclusion et justification (4 pts).
Total		20 pts

Pistes pour un rythme de travail différent

Laisser deux jours de plus aux élèves qui ont peu de connexion et accepter un rendu sur papier photographié.
Proposer la fiche à trous, un énoncé découpé en petites questions et une vidéo de correction pas à pas.
Pour les élèves rapides : une démonstration, un programme Python à écrire ou un problème ouvert à présenter à l'oral.
Automatismes : théorème de Pythagore, racines carrées, repérage dans le plan.
Pour aller plus loin : représenter des vecteurs dans un logiciel de géométrie 3D gratuit.